1. Exponential- und Logarithmusfunktionen - Ableitungsregeln 6

1.1 Exponential- und Logarithmusfunktionen - Eigenschaften
1.1.1 Exponentialfunktion x --> b hoch x 7
1.1.2 Verhalten von Funktionen für x --> unendlich bzw. x --> -unendlich - Asymptoten 12
1.1.3 Allgemeine Exponentialfunktionen x --> ab hoch x 16
1.1.4 Logarithmusfunktionen 20
1.1.5 Umkehren einer Funktion 26

1.2 Ableitung der Exponentialfunktionen
1.2.1 Die e-Funktion 30
1.2.2 Natürlicher Logarithmus und Ableitung der Exponentialfunktion 35

1.3 Ketten-, Produkt- und Quotientenregel - Stetigkeit
1.3.1 Kettenregel 38
1.3.2 Grenzwert einer Funktion an einer Stelle 45
1.3.3 Stetigkeit 49
1.3.4 Produktregel 52
1.3.5 Quotientenregel 55

1.4 Ableitung der Logarithmusfunktionen - Regeln über die Ableitung der Umkehrfunktion 57

1.5 Regeln von de l'Hospital 59

1.6 Funktionsuntersuchungen -Anwendungen
1.6.1 Anwendungen der e-Funktion 62
1.6.2 Untersuchungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen 66
1.6.3 Untersuchung von Funktionenscharen 70

1.7 Vermischte Übungen 73

Exlurs: Zahlen - historisch betrachtet 79
Blickpunkt: Weltbevölkerung 82

Klausurtraining 84


2. Weiterführung der Differentialrechnung 86

2.1 Bestimmen von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften 87

2.2 Extremwertprobleme 93

2.3 Untersuchung von Funktionenscharen 101
Blickpunkt: Untersuchung von
Funktionenscharen mit einem CAS 108

Klausurtraining 109
Exkurs: Algorithmus als zentraler Begriff 112


3. Integralrechnung 114

3.1 Das Integral
3.1.1 Berechnen des Flächeninhalts einer Fläche unter dem Graphen einer Funktion im 1. und 2. Quadranten 115
3.1.2 Orientierte Flächeninhalte -geometrische Definition des Integrals 122
3.1.3 Das Integral als verallgemeinertes Produkt - die analytische Definition des Integrals 129
3.1.4 Berechnen von Integralen - einfache Integrationsregeln 133
3.1.5 Verwenden von Integralen zur Flächenberechnung 138
3.1.6 Integrierbarkeit als Eigenschaft einer Funktion 144
3.1.7 Vermischte Übungen 147

3.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und seine Anwendung
3.2.1 Integralfunktion 151
3.2.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 155
3.2.3 Stammfunktionen 158
3.2.4 Berechnen von Integralen mithilfe von Stammfunktionen 163

3.3 Uneigentliche Integrale 167

3.4 Vermischte Übungen 170

Klausurtraining 176
Exkurs: Geschichte der Integralrechnung 178


4. Anwendungen des Integrals - weitere Integrationsregeln 180

4.1 Physikalische Arbeit 181

4.2 Volumina von Körpern 185

4.3 Anwenden des Integrals bei Geschwindigkeit und Beschleunigung 189

4.4 Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion 193

4.5 Weitere Integrationsregeln
4.5.1 Das Verfahren der partiellen Integration 199
4.5.2 Das Substitutionsverfahren 203
4.5.3 Integration rationaler Funktionen mithilfe der Partialbruchzerlegung 206
4.5.4 Vermischte Übungen 208

4.6 Bogenlänge und Größe der Mantelfläche 211

4.7 Numerische Verfahren der Integration
4.7.1 Das Rechteckverfahren 215
4.7.2 Das Trapezsummenverfahren 218
4.7.3 Die Simpson'sche Regel 221
4.7.4 Numerische Berechnung von Bogenlängen 224
Blickpunkt: Volumenbestimmung bei nicht rotationssymmetrischen Körpern 226

4.8 Vermischte Übungen 228

Klausurtraining 231
Exkurs: Die zentrale Idee des Messens 234


5. Weitere Funktionstypen 236

5.1 Rationale Funktionen
5.1.1 Grundeigenschaften rationaler Funktionen und Aufbau aus einfachen Grundtypen 237
5.1.2 Untersuchung rationaler Funktionen 247

5.2 Trigonometrische Funktionen
5.2.1 Funktionsuntersuchungen bei trigonometrischen Funktionen 255
5.2.2 Anwendungen trigonometrischer Funktionen bei Schwingungsvorgängen 264
5.2.3 Die Arcusfunktionen und ihre Eigenschaften 269

5.3 Vermischte Übungen
5.3.1 Rationale Funktionen 275
5.3.2 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 282

Exkurs: Die mahtematische Kultur 285
Klausurtraining 288


6. Differentialgleichungen 290

6.1 Differentialgleichung und Kurvenschar
6.1.1 Begriff der Differentialgleichung -Separation der Variablen 291
6.1.2 Numerische Lösung einer Differentialgleichung 298

6.2 Differentialgleichungen für Wachstums- und Abnahmeprozesse 300

6.3 Differentialgleichungen für Schwingungsvorgänge 306

6.4 Vermischte Übungen 310

Exkurs: Mathematisches Modellieren 312


7. Approximation von Funktionen 314

7.1 Polynominterpolation 315

7.2 Taylor-Polynom und Taylor-Entwicklung
7.2.1 Taylor-Polynome 318
7.2.2 Die Taylor-Entwicklung 322
Blickpunkt: Funktionswertbestimmung von Standardfunktionen eines Taschenrechners 328


8. Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung

8.1 Ganzrationale Funktionen 330

8.2 Exponentialfunktionen -Logarithmusfunktionen 331

8.3 Weitere Funktionstypen 337


Anhang I: Beweise

I.1 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion 345

I.2 Der indirekte Beweis 349

I.3 Beweisen in der Mathematik 351


Anhang II: Lösungen zum Klausurtraining 354


Stichwortverzeichnis 364
Überblick über den Kern des Lehrgangs 367
Verzeichnis mathematischer Symbole 368