Analysis

1. Integralrechnung 8

1.1 Das Integral
1.1.1 Berechnen des Flächeninhalts einer Fläche unter dem Graphen einer Funktion im 1. und 2. Quadranten 9
1.1.2 Orientierte Flächeninhalte - Definition des Integrals 15
1.1.3 Berechnen von Integralen - Einfache Integrationsregeln 23
1.1.4 Verwenden von Integralen zur Flächen­berechnung 29
1.1.5 Flächeninhalt der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen 33
1.1.6 Vermischte Übungen 36

1.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und seine Anwendungen
1.2.1 Integralfunktion 39
1.2.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 42
1.2.3 Stetigkeit und Integrierbarkeit 45
1.2.4 Stammfunktionen 47
1.2.5 Berechnen von Integralen mithilfe einer Stammfunktion 50

1.3 Anwendungen des Integrals
1.3.1 Volumen eines Rotationskörpers 53
1.3.2 Physikalische Arbeit 57
1.3.3 Anwenden des Integrals bei Geschwindig­keiten und Beschleunigungen 59

Exkurs: Messen als zentrale Idee 62

1.4 Vermischte Übungen 64

Klausurtraining 70
Exkurs: Zur Geschichte der Integralrechnung 72


2. Weitere Regeln zum Differenzieren und Integrieren 74

2.1 Produkt- und Quotientenregel
2.1.1 Produktregel 75
2.1.2 Quotientenregel 78

2.2 Verketten von Funktionen -Kettenregel
2.2.1 Verketten von Funktionen 81
2.2.2 Ableitung der Verkettung von Funktionen - Kettenregel 84

2.3 Lineare Substitution 86

2.4 Vermischte Übungen 88


3. Exponential- und Logarithmusfunktionen 90

3.1 Exponential- und Logarithmusfunktionen -Eigenschaften
3.1.1 Exponentialfunktionen x --> b hoch x 91
3.1.2 Allgemeine Exponentialfunktionen x --> ab hoch x 95
3.1.3 Logarithmusfunktionen 98

3.2 Ableitung der Exponentialfunktionen
3.2.1 Die e-Funktion 103
3.2.2 Natürlicher Logarithmus und Ableitung der Exponentialfunktion 108
3.2.3 Anwendung der e-Funktion 110

3.3 Funktionsuntersuchungen an Exponentialfunktionen 113

3.4 Ableitung der Logarithmusfunktionen 115

3.5 Untersuchung von Funktionsscharen 117

3.6 Vermischte Übungen 119
Blickpunkt: Weltbevölkerung 124

Klausurtraining 126


4. Weitere Funktionstypen 128

4.1 Rationale Funktionen
4.1.1 Grundeigenschaften rationaler Funktionen und Aufbau rationaler Funktionen aus einfachen Grundtypen 129
4.1.2 Untersuchung rationaler Funktionen 138

4.2 Funktionsuntersuchungen bei trigonometrischen Funktionen 143

4.3 Vermischte Übungen 147

Klausurtraining 152


5. Weiterer Ausbau der Integralrechnung 154

5.1 Numerische Integration
5.1.1 Das Rechteckverfahren 155
5.1.2 Trapezregel - Trapezsummenverfahren 158

5.2 Partielle Integration und Integration durch Substitution
5.2.1 Das Verfahren der partiellen Integration 162
5.2.2 Das Substitutionsverfahren 165

Exkurs: Algotithmus als znetrale Idee 168


6. Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung - Analysis 170



Lineare Algebra und Analytische Geometrie


7. Lineare Gleichungssysteme 178

7.1 Entwickeln eines Lösungsverfahrens für lineare Gleichungssysteme 179

7.2 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösungen und mit unendlich vielen Lösungen 183

7.3 Anwendungen linearer Gleichungssysteme 187


8. Vektorrechnung - Punkte und Geraden im Raum 192

8.1 Kartesisches Koordinatensystem 193

8.2 Ursprungsgeraden - Vektoren und ihre Vervielfachung 197

8.3 Verschiebungen - Addieren und Subtrahieren von Vektoren 201

8.4 Parameterdarstellungen von Geraden 209

8.5 Lageaufgaben
8.5.1 Punkt und Gerade (Punktprobe) 214
8.5.2 Gegenseitige Lage zweier Geraden 216

8.6 Vermischte Übungen 222
Blickpunkt: Lösen von Lageaufgaben mit einem CAS 225

Klausurtraining 226
Exkurs: Geschichte der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie 228


9. Skalarprodukt von Vektoren - Berechnen geometrischer Größen 230

9.1 Länge eines Vektors - Abstand zweier Punkte 231

9.2 Orthogonalität - Skalarprodukt von Vektoren - Winkelberechnung
9.2.1 Orthogonalität - Skalarprodukt von Vektoren 235
9.2.2 Geometrische Bedeutung des Skalarprodukts - Winkelberechnung 240

9.3 Berechnen von Abständen
9.3.1 Abstand eines Punktes von einer Geraden - Flächeninhalte 245
9.3.2 Abstand zueinander windschiefer Geraden 249

9.4 Vermischte Übungen 253

Klausurtraining 256


10. Analytische Geometrie in Ebenen 258

10.1 Beschreibung von Ebenen durch Parameterdarstellungen
10.1.1 Gewinnen einer Parameterdarstellung 259
10.1.2 Punkt und Ebene 264
10.1.3 Verschiedene Parameterdarstellungen einer Ebene - Linearkombination von Vektoren 265

10.2 Beschreiben von Ebenen durch Koordinatengleichungen 271

10.3 Von einer Koordinatengleichung einer Ebene zu einer Parameterdarstellung und umgekehrt 278

10.4 Lageaufgaben
10.4.1 Gerade und Ebene 282
10.4.2 Zwei Ebenen 285
Blickpunkt: Gegenseitige Lage dreier Ebenen und Lösungen linearer Gleichungssysteme 288

10.5 Berechnen von geometrischen Größen
10.5.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene -Rauminhalte 290
10.5.2 Winkel zwischen Ebenen 294

10.6 Vermischte Übungen 299

Klausurtraining 302
Exkurs: Höherdimensionale Räume 304


11. Matrizen 306

11.1 Matrizen - Addieren und Vervielfachen 307

11.2 Multiplikation von Matrizen 311

11.3 Rechengesetze für die Multiplikation von Matrizen 317

11.4 Abbildungen und Matrizen
11.4.1 Abbildungen in der Ebene 322
11.4.2 Abbildungen im Raum 327
Blickpunkt: Matrizen zur Beschreibung des Wachstums von Populationen 330

Klausurtraining 332

12. Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung - Lineare Algebra und Analytische Geometrie 334



Stochastik


13. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 340

13.1 Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
13.1.1 Merkmale und deren absolute und relative Häufigkeit 341
13.1.2 Fehlerinterpretation und Manipulation von statistischen Daten 348
13.1.3 Empirisches Gesetz der großen Zahlen 351
13.1.4 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten durch Simulation 358

13.2 Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
13.2.1 Grundregeln 363
13.2.2 Pfadregeln 367
13.2.3 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien 372
13.2.4 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten bei Stichproben 376
Blickpunkt: Das Geburtstagsproblem oder Wiederholungen treten bei Zufallsversuchen öfter auf als man vermutet 378

13.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit -Satz von Bayes
13.3.1 Baumdiagramme und Vierfeldertafeln 380
13.3.2 Umkehrung von Baumdiagrammen bedingte Wahrscheinlichkeiten 384
13.3.3 Anwendung des Satz von Bayes - Chancen für die Richtigkeit von Hypothesen 389

13.4 Vermischte Übungen 393

Klausurtraining 396
Exkurs: Anmerkungen zur Geschichte der Wahrscheinlichkeit 398


14. Zufallsgrößen - Verteilungen - Erwartungswert 400

14.1 Mittelwert der Häufigkeitsverteilung eines Merkmals 401

14.2 Streuung um den Mittelwert -Streuungsmaße 406

14.3 Zufallsgrößen - Wahrscheinlichkeits­verteilung - Erwartungswert
14.3.1 Zufallsgrößen und deren Verteilungen 409
14.3.2 Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeits­verteilung 414

14.4 Bernoulli-Versuche und ihre Verteilungen
14.4.1 Bernoulli-Versuche und Binomialverteilungen 419
14.4.2 Kumulierte Binomialverteilungen 425
14.4.3 Erwartungswert einer Binomialverteilung 429
14.4.4 Binomialverteilung und Ziehen ohne Zurücklegen (Stichprobennahme) 431

14.5 Der Alternativtest
14.5.1 Das Entscheidungsverfahren - Möglichkeiten und Fehler 433
14.5.2 Entscheidungsregel bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit a 438

14.6 Anwendungen der Binomialverteilung
14.6.1 Das Kugel-Fächer-Modell 441
Blickpunkt: Das 1/e-Gesetz und die Eulersche Zahl e in der Stochastik 444
14.6.2 Ein Auslastungsmodell 446
14.6.3 Warten auf einen Erfolg 448
Blickpunkt: Test auf Zufälligkeit 450

14.7 Binomialverteilung bei großem Stichprobenumfang
14.7.1 Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen 452
14.7.2 Wahrscheinlichkeiten von Sigma-Umgebungen 454

14.8 Vermischte Übungen 458

Klausurtraining 460
Exkurs: Mathematisches Modellieren 462


15. Beurteilende Statistik 464

15.1 Schluss von der Gesamtheit auf eine Stichprobe
15.1.1 Schätzung zu erwartender absoluter Häufigkeiten 465
15.1.2 Schätzung zu erwartender relativer Häufigkeiten 468

15.2 Hypothesentest bei großem Stichprobenumfang
15.2.1 Testen einer zweiseitigen Hypothese 473
15.2.2 Fehler beim Testen von Hypothesen 476
15.2.3 Testen einer einseitigen Hypothese 478
15.2.4 Auswahl der Hypothese bei ein­seitigen Tests 482

15.3 Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit - Schätzen von Parametern für binomialverteilte Zufallsgrößen 485

15.4 Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs 489

15.5 Vermischte Übungen 492

Klausurtraining 494
Exkurs: Meinungsbefragung als Beispiel einer Stichprobennahme 496

16. Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung-Stochastik 498


Anhang

I Tabellen 504

II Lösungen zum Klausurtraining 507

Überblick über den Kern des Lehrgangs 527

Stichwortverzeichnis 530
Verzeichnis mathematischer Symbole 534