1. Funktionen 6

1.1 Funktionsbegriff- Modellieren von Sachverhalten
1.1.1 Funktionen und ihre Darstellung 7
1.1.2 Folgen und ihre Darstellung 16

1.2 Lineare Funktionen - Geraden
1.2.1 Begriff der linearen Funktion 21
1.2.2 Koordinatengeometrie mit Geraden 24
1.2.3 Vermischte Übungen 33

1.3 Quadratische Funktionen
1.3.1 Begriff der quadratischen Funktion 35
1.3.2 Verschieben und Strecken von Parabeln 39
1.3.3 Lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung quadratischer Funktionen 44
1.3.4 Quadratwurzelfunktion als Umkehrung einer Quadratfunktion 48
1.3.5 Vermischte Übungen 51

1.4 Potenzfunktionen - Ganzrationale Funktionen
1.4.1 Potenzfunktionen 53
1.4.2 Begriff der ganzrationalen Funktion -Globalverlauf 58
1.4.3 Nullstellen einer ganzrationalen Funktion - Polynomdivision 61

1.5 Trigonometrische Funktionen
1.5.1 Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis 67
1.5.2 Das Bogenmaß eines Winkels -Sinus-, Kosinusfunktion mit R als Definitionsbereich 73
1.5.3 Die allgemeine Sinusfunktion -Modellieren periodischer Vorgänge 76

1.6 Exponentialfunktionen
1.6.1 Der Begriff der Exponentialfunktion 81
1.6.2 Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion 85
1.6.3 Geometrische Folgen 91
1.6.4 Geometrische Reihen als Folgen 94

1.7 Scharen von Funktionen 97

1.8 Vermischte Übungen 100

Klausurtraining 103
Blickpunkt: Grafikfähige Taschenrechner 106
Exkurs: Der Funktionsbegriff als fundamentaler Begriff in der Mathematik 108


2. Grenzwerte bei Folgen und Funktionen 110

2.1 Grenzwerte bei Folgen
2.1.1 Grenzwert einer Folge 111
2.1.2 Grenzwertsätze für Folgen 115
2.1.3 Konvergenz der geometrischen Reihe 118

2.2 Grenzwerte bei Funktionen
2.2.1 Grenzwert einer Funktion an der Stelle a 120
2.2.2 Grenzwertsätze für Funktionen 126

Exkurs: Unendlich in der Mathematik 130


3. Differentialrechnung 132

3.1 Berechnen der Tangentensteigung bei Graphen
3.1.1 Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt 133
3.1.2 Berechnen der Tangentensteigung beim Graphen von x --> x hoch 2 137
3.1.3 Bestimmen der Ableitung bei weiteren Funktionen 140
3.1.4 Vermischte geometrische Anwendungen 144

3.2 Analytische Definition der Ableitung
3.2.1 Sonderfälle und Probleme bei der Berechnung der Tangente 146
3.2.2 Analytische Definition der Ableitung -Differenzierbarkeit 148
3.2.3 Ableitungsfunktion - erste, zweite, dritte, ... Ableitung 152
Blickpunkt: CAS als Hilfsmittel zur Visualisierung 154

3.3 Ableitungsregeln
3.3.1 Potenzregel 156
3.3.2 Faktorregel 158
3.3.3 Summen- und Differenzregel 159

3.4 Anwendungen des Begriffs Ableitung
3.4.1 Geschwindigkeit als punktuelle Änderungsrate 163
3.4.2 Dichte eines Gases als punktuelle Änderungsrate 165
3.4.3 Weitere Beispiele für Änderungsraten in den Anwendungen 167
3.4.4 Das Newton-Verfahren 169
3.4.5 Vermischte Übungen 172
Blickpunkt: Grenzsteuer - Spitzensteuersatz 176

Klausurtraining 178
Exkurs: Zur Geschichte der Differential­rechnung 180


4. Funktionsuntersuchungen 182

4.1 Extremstellen - Notwendiges Kriterium 183

4.2 Hinreichende Kriterien für Extremstellen - Monotoniesatz
4.2.1 Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung als hinreichendes Kriterium für Extrem­stellen 190
4.2.2 Monotonie und Vorzeichen der Ableitung 193
4.2.3 Hinreichendes Kriterium für relative Extremstellen mittels der 2. Ableitung 196

4.3 Linkskurve, Rechtskurve -Wendepunkte 199

4.4 Ausführliche Untersuchung ganzrationaler Funktionen 204

4.5 Vermischte Übungen 208
Blickpunkt: Verkehrsfluss in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit 210

Klausurtraining 212

5. Bestimmen von Funktionen - Extremwertaufgaben 214

5.1 Bestimmen ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften 215

5.2 Extremwertprobleme 220

5.3 Untersuchung von Funktionenscharen 227
Blickpunkt: Safttüte mit minimalem
Materialbedarf 232

Klausurtraining 234


Anhang

I. Weitere Ableitungsregeln
I.1 Spezialfall der Kettenregel 236
I.2 Produktregel 240
I.3 Quotientenregel 243

II. Lösungen zum Klausurtraining 246


Stichwortverzeichnis 253

Überblick über den Kern des Lehrgangs 255

Verzeichnis mathematischer Symbole 256