Vorbemerkungen 6


A Funktionen 7

A 1 Der Begriff Funktion 7

A 2 Rationale Funktionen 11
A 2.1 Arten rationaler Funktionen 11
A 2.2. Nullstellen und Symmetrieverhalten 11

A 3 Nichtrationale Funktionen und ihre Nullstellen 15
A 3.1 Exponentialfunktionen 15
A 3.2 Logarithmusfunktionen 17

A 4 Weitere reelle Funktionen 22

A 5 Verknüpfen, Verketten und Umkehren von Funktionen 25

A 6 Funktionenscharen 30


B Arbeiten mit Zahlenfolgen und Reihen 33

B 1 Zahlenfolgen 33
B 1.1 Der Begriff Zahlenfolge 33
B 1.2 Eigenschaften von Zahlenfolgen 36
B 1.3 Partialsummen; Partialsummenfolgen 39
B 1.4 Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen 40

B 2 Konvergenz von Zahlenfolgen 47
B 2.1 Grenzwert einer Zahlenfolge 47
B 2.2 Grenzwertsätze für Zahlenfolgen 48

B 3 Reihen 50


C Weitere Eigenschaften von Funktionen 53

C 1 Monotonie und Beschränktheit von Funktionen 53

C 2 Grenzwert von Funktionen; Grenzwertsätze 54

C 3 Stetigkeit von Funktionen 59


D Differentialrechnung und ihre Anwendung zur Untersuchung von Funktionseigenschaften 62

D 1 Anliegen und Grundbegriffe der Differentialrechnung 62
D 1.1 Der Begriff Ableitung einer Funktion 62
D 1.2 Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit 65

D 2 Regeln zur Ableitung von Funktionen 67
D 2.1 Konstantenregel, Faktorregel und Potenzregel 67
D 2.2 Summen-, Produkt- und Quotientenregel 67
D 2.3 Kettenregel 69
D 2.4 Umkehrregel 70

D 3 Ableitungen elementarer Funktionen 70
D 3.1 Ableitung von Potenzfunktionen 70
D 3.2 Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen 71
D 3.3 Ableitung trigonometrischer Funktionen 72
D 3.4 Ableitungen höherer Ordnung 77

D 4 Sätze über differenzierbare Funktionen 79

D 5 Anwenden der Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionseigenschaften 81
D 5.1 Monotonieverhalten 81
D 5.2 Extrema 82
D 5.3 Krümmungsverhalten und Wendestellen 86
D 5.4 Verhalten im Unendlichen 89
D 5.5 Unstetigkeitsstellen 90
D 5.6 Kurvendiskussion an Beispielen 92


E Integralrechnung 102

E 1 Das unbestimmte Integral 102
E 1.1 Die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral 102

E 2 Das bestimmte Integral 105
E 2.1 Flächeninhalt unter der Normalparabel 105
E 2.2 Der Begriff bestimmtes Integral 105
E 2.3 Begriffserweiterung und Eigenschaften bestimmter Integrale 105
E 2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung 106

E 3 Beziehung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral 107
E 3.1 Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Integrationsgrenze 107
E 3.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 107

E 4 Berechnen bestimmter Integrale; Anwendung zum Ermitteln von Flächeninhalten 108
E 4.1 Berechnen bestimmter Integrale 108
E 4.2 Ermitteln von Flächeninhalten 109

E 5 Weitere Integrationsmethoden 117
E 5.1 Integration durch lineare Substitution 117
E 5.2 Integration durch nichtlineare Substitution 117
E 5.3 Partielle Integration 118
E 5.4 Integration durch Partialbruchzerlegung 118

E 6. Integration weiterer Funktionen; uneigentliche Integrale 118
E 6.1 Integration trigonometrischer Funktionen 118
E 6.2 Integration von Exponential- und Logharithmusfunktionen 118


F Weitere Anwendungen von Begriffen, Sätzen und Verfahren der Analysis beim Lösen inner- und außermathematischer Probleme 125

F 1 Beschreiben von Prozessen und Zusammenhängen durch Funktionen 125
F 1.1 Approximation durch Polynomfunktionen 125
F 1.2 Die TAYLORsche Formel für ganzrationale Funktionen 126
F 1.3 Der Satz von TAYLOR 126
F 1.4 Taylorentwicklung einiger nichtrationaler Funktionen 126
F 1.5 Das Verfahren der linearen Regression 128

F 2 Fragen der Näherungsrechnung 129

F 3 Extremwertprobleme 134

F 4 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 140
F 4.1 Volumen- und Mantelfläche von Rotationskörpern; Bogenlänge von Kurven 140
F 4.2 Physikalische Probleme 145

F 5 Differentialgleichungen 147
F 5.1 Der Begriff Differentialgleichung 147
F 5.2 Arten von Differentialgleichungen 147
F 5.3 Zum Lösungsverhalten von Differentialgleichungen 147
F 5.4 Geometrische Veranschaulichung von Differentialgleichungen 1. Ordnung 148
F 5.5 Lösungsverfahren für Differentialgleichungen 1. Ordnung 148
F 5.6 Näherungsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungen 1. Ordnung 148
F 5.7 Lösen linearer homogener Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 148
F 5.8 Anwendungen von Differentialgleichungen 149
Komplexe Aufgaben zu den Kapiteln A bis F 152


G Analytische Geometrie und lineare Algebra 159

G 1 Vektoren im Anschauungsraum 159
G 1.1 Pfeile und Vektoren 159
G 1.2 Addition und Vervielfachung von Vektoren 159
G 1.3 Vektoren in der Ebene und im Raum: Basis; Komponentenzerlegung 161
G 1.4 Basen und Koordinatensysteme 162
G 1.5 Punkte, Strecken und Dreiecke in einem Koordinatensystem 166
G 1.6 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 168
G 1.7 Beweise unter Verwendung von Vektoren 169
G 1.8 Praktische Anwendungen 170

G 2 Geraden in der Ebene und im Raum 174
G 2.1 Punktrichtungsgleichung einer Ebene 174
G 2.2 Zweipunktegleichung einer Geraden 176
G 2.3 Lagebeziehungen von Geraden 180
G 2.4 Schnittpunkt von zwei Geraden 182
G 2.5 Schnittwinkel von zwei Geraden in der Ebene 184

G 3 Lineare Gleichungssysteme 185
G 3.1 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen; GAUSSsches Eliminierungsverfahren 185
G 3.2 Lösbarkeit und Lösungsmenge von Gleichungssystemen 185
G 3.3 Determinanten; Regel von Cramer 186
G 3.4 Praktische Anwendungen 186

G 4 Ebenen im Raum 188
G 4.1 Parametergleichung einer Ebene 188
G 4.2 Parameterfreie Gleichung einer Ebene 188
G 4.3 Spezielle Ebenen 189
G 4.4 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene 190
G 4.5 Lagebeziehungen von zwei Ebenen 192

G 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 193
G 5.1 Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems 193
G 5.2 Lineare Gleichungssysteme in Vektorschreibweise 193
G 5.3 Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems 195
G 5.4 Koeffizientenmatrix; Vektoren und Matrizen 195
G 5.5 Weitere Rechenoperationen mit Matrizen; Rechenregeln 195
G 5.6 Lösen von Anwendungsproblemen 199

G 6 Skalarprodukt von Vektoren 202
G 6.1 Definition und Eigenschaften 202
G 6.2 Anwendungen des Skalarprodukts 203
G 6.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden bzw. Ebene; HESSEsche Normalformen 208
G 6.4 Schnittwinkel zweier Ebenen 212

G 7 Kreise und Kugeln 213
G 7.1 Gleichungen von Kreis und Kugel 213
G 7.2 Kreis und Gerade 216
G 7.3 Zwei Kreise 218
G 7.4 Kugel und Gerade 221
G 7.5 Kugel und Ebene 222
G 7.6 Zwei Kugeln 224

G 8 Das Vektorprodukt 224
G 8.1 Definition und Eigenschaften 224
G 8.2 Abstand zweier Geraden 226

G 9 Vektorräume 227
G 9.1 Der Begriff Vektorraum 227
G 9.2 Beispiele für Vektorräume 227
G 9.3 Unterräume und Erzeugendensysteme 227
G 9.4 Basen und Dimension von Unterräumen eines Vektorraums 227
Komplexe Aufgaben zu Kapitel G 230


H Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundfragen ihrer Anwendung 249

H 1 Zufallsexperimente 249
H 1.1 Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen; Baumdiagramm der Ergebnisse 249
H 1.2 Zufällige Ereignisse; Verknüpfen von Ereignissen 252
H 1.3 Absolute und relative Häufigkeiten; empirisches Gesetz der großen Zahlen 257
H 1.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung; KOLMOGOROWsches Axiomensystem, Additionssatz 260
H 1.5 Vier- und Mehrfeldertafeln; Zerlegungen der Ergebnismenge 263

H 2 Gleichverteilung 267
H 2.1 Der Begriff Gleichverteilung (LAPLACE-Experimente) 267
H 2.2 Rechenregel für die Gleichverteilung (LAPLACE-Regel) 268
H 2.3 Verschiedene Modelle für ein und dasselbe Zufallsexperiment 268
H 2.4 Baumdiagramme; Pfadregeln 269
H 2.5 Zählprinzip bei k-Tupeln 273
H 2.6 Zählprinzip bei n-elementigen Mengen 276
H 2.7 Urnenmodelle; Ziehen mit und ohne Zurücklegen; hypergeometrische Verteilung 282
H 2.8 Simulation mithilfe von Zufallszahlen 288

H 3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 290
H 3.1 Der Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit; allgemeiner Multiplikationssatz 290
H 3.2 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit 297
H 3.3 BAYESsche Formel 298
H 3.4 Unabhängigkeit von Ereignissen; spezieller Multiplikationssatz 306

H 4 Zufallsgrößen 313
H4.1 Endliche Zufallsgrößen 313
H 4.2 Erwartungswert 314
H 4.3 Streuung 323

H 5 Binomialverteilung 329
H 5.1 BERNOULLI-Experimente 329
H 5.2 BERNOULLI-Ketten; binomialverteilte Zufallsgröße 330
H 5.3 Tabellierungen zur Binomialverteilung 339
H 5.4 Grafische Veranschaulichung der Binomialverteilung B(n; p) 345
H 5.5 Erwartungswert und Streuung binomialverteilter Zufallsgrößen 347
H 5.6 Simulation von BERNOULLI-Ketten mit dem Taschenrechner 353
H 5.7 Grenzwertsatz von DE Moivre-Laplace zur Binomialverteilung 356
H 5.8 Normalverteilung 363
Komplexe Aufgaben zu Kapitel H 369


J Statistik 376

J 1 Testen von Hypothesen - Testverfahren 376
J 1.1 Grundprobleme des Testens von Hypothesen 376
J 1.2 Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit; Alternativtests 378
J 1.3 Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit; Signifikanztests 380
J 1.4 Zur Qualität statistischer Tests; Gütefunktion 390

J 2 Anwendungen aus verschiedenen Bereichen 392