ANALYSIS


A Funktionen 9

A 1 Der Begriff Funktion 10

A 2 Rationale Funktionen 12
A 2.1 Arten rationaler Funktionen 12
A 2.2 Nullstellen und Symmetrieverhalten 12

A 3 Nichtrationale Funktionen und ihre Nullstellen 20
A 3.1 Exponentialfunktionen 20
A 3.2 Logarithmusfunktionen 21
A 3.3 Nullstellen nichtrationaler Funktionen 23

A 4 Weitere reelle Funktionen 25

A 5 Verknüpfen, Verketten und Umkehren von Funktionen 29

A 6 Funktionenscharen 33


B Arbeiten mit Zahlenfolgen und Reihen 37

B 1 Zahlenfolgen 38
B 1.1 Der Begriff Zahlenfolge 38
B 1.2 Eigenschaften von Zahlenfolgen 40
B 1.3 Partialsummen; Partialsummenfolgen 44
B 1.4 Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen 45

B 2 Konvergenz von Zahlenfolgen 55
B 2.1 Grenzwert einer Zahlenfolge 55
B 2.2 Grenzwertsätze für Zahlenfolgen 59

B 3 Reihen 62


C Weitere Eigenschaften von Funktionen 65

C 1 Monotonie und Beschränktheit von Funktionen 66

C 2 Grenzwert von Funktionen; Grenzwertsätze 68

C 3 Stetigkeit von Funktionen 76


D Differentialrechnung und ihre Anwendung zur Untersuchung von Funktionseigenschaften 81

D 1 Anliegen und Grundbegriffe der Differentialrechnung 82
D 1.1 Der Begriff Ableitung einer Funktion 82
D 1.2 Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit 88

D 2 Regeln zur Ableitung von Funktionen 89
D 2.1 Konstantenregel, Faktorregel und Potenzregel 89
D 2.2 Summen-, Produkt- und Quotientenregel 91
D 2.3 Kettenregel 93
D 2.4 Umkehrregel 95

D 3 Ableitungen elementarer Funktionen 97
D 3.1 Ableitung von Potenzfunktionen 97
D 3.2 Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen 98
D 3.3 Ableitung trigonometrischer Funktionen 100
D 3.4 Ableitungen höherer Ordnung 103

D 4 Sätze über differenzierbare Funktionen 104

D 5 Anwenden der Differentialrechnung 108
D 5.1 Monotonieverhalten 109
D 5.2 Extrema 112
D 5.3 Krümmungsverhalten und Wendestellen 120
D 5.4 Verhalten im Unendlichen 123
D 5.5 Unstetigkeitsstellen 126
D 5.6 Kurvendiskussionen an Beispielen 128


E Grundfragen der Integralrechnung 135

E 1 Das unbestimmte Integral 136
E 1.1 Die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral 136
E 1.2 Regeln für das Ermitteln von unbestimmten Integralen 139

E 2 Das bestimmte Integral 143
E 2.1 Flächeninhalt unter der Normalparabel 143
E 2.2 Der Begriff bestimmtes Integral 148
E 2.3 Begriffserweiterung und Eigenschaften bestimmter Integrale 154
E 2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung 155

E 3 Beziehung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral 157
E 3.1 Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Integrationsgrenze 157
E 3.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 158

E 4 Berechnen bestimmter Integrale; Bestimmung von Flächeninhalten 159
E 4.1 Berechnen bestimmter Integrale 159
E 4.2 Ermitteln von Flächeninhalten 161

E 5 Weitere Integrationsmethoden 167
E 5.1 Integration durch lineare Substitution 168
E 5.2 Integration durch nichtlineare Substitution 169
E 5.3 Partielle Integration 170
E 5.4 Integration durch Partialbruchzerlegung 171

E 6 Integration weiterer Funktionen; uneigentliche Integrale 172
E 6.1 Integration trigonometrischer Funktionen 172
E 6.2 Integration von Exponential- und Logarithmusfunktionen 173
E 6.3 Uneigentliche Integrale 174
E 6.4 Beispiele für nicht elementar integrierbare Funktionen 176


F Weitere Anwendungen von Begriffen, Sätzen und Verfahren der Analysis beim Lösen inner- und außermathematischer Probleme 177

F 1 Beschreiben von Prozessen und Zusammenhängen durch Funktionen 178
F 1.1 Approximation durch Polynomfunktionen 178
F 1.2 Die TAYLORsche Formel für ganzrationale Funktionen 182
F 1.3 Der Satz von TAYLOR 185
F 1.4 TAYLORentwicklung einiger nichtrationaler Funktionen 188
F 1.5 Das Verfahren der linearen Regression 191

F 2 Fragen der Näherungsrechnung 195

F 3 Extremwertprobleme 200

F 4 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 203
F 4.1 Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern; Bogenlänge von Kurven 203
F 4.2 Physikalische Probleme 209

F 5 Differentialgleichungen 213
F 5.1 Der Begriff Differentialgleichung 213
F 5.2 Arten von Differentialgleichungen 214
F 5.3 Zum Lösungsverhalten von Differentialgleichungen 215
F 5.4 Geometrische Veranschaulichung von Differentialgleichungen 1. Ordnung 217
F 5.5 Lösungsverfahren für Differentialgleichungen 1. Ordnung 218
F 5.6 Näherungsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungen 1. Ordnung 221
F 5.7 Lösen linearer homogener Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 222
F 5.8 Anwendungen von Differentialgleichungen 225



ANALYTISCHE GEOMETRIE


G Analytische Geometrie und lineare Algebra 230

G 1 Vektoren im Anschauungsraum 230
G 1.1 Pfeile und Vektoren 230
G 1.2 Addition und Vervielfachung von Vektoren 231
G 1.3 Vektoren in der Ebene und im Raum: Basis; Komponentenzerlegung 235
G 1.4 Basen und Koordinatensysteme 240
G 1.5 Punkte, Strecken und Dreiecke in einem Koordinatensystem 244
G 1.6 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 249
G 1.7 Beweise unter Verwendung von Vektoren 252
G 1.8 Praktische Anwendungen 253

G 2 Geraden in der Ebene und im Raum 257
G 2.1 Punktrichtungsgleichung einer Geraden 257
G 2.2 Zweipunktegleichung einer Geraden 261
G 2.3 Lagebeziehungen von Geraden 263
G 2.4 Schnittpunkte von zwei Geraden 265
G 2.5 Schnittwinkel von zwei Geraden in der Ebene 268

G 3 Lineare Gleichungssysteme 270
G 3.1 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen; GAUSSsches Eliminierungsverfahren 270
G 3.2 Lösbarkeit und Lösungsmenge von Gleichungssystemen 274
G 3.3 Determinanten; Regel von CRAMER 277
G 3.4 Praktische Anwendungen 279

G 4 Ebenen im Raum 283
G 4.1 Parametergleichung einer Ebene 283
G 4.2 Parameterfreie Gleichung einer Ebene 286
G 4.3 Spezielle Ebenen 288
G 4.4 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene 291
G 4.5 Lagebeziehungen von zwei Ebenen 293

G 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 296
G 5.1 Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems 296
G 5.2 Lineare Gleichungssysteme in Vektorschreibweise 298
G 5.3 Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems 299
G 5.4 Koeffizientenmatrix; Vektoren und Matrizen 300
G 5.5 Weitere Rechenoperationen mit Matrizen; Rechenregeln 303
G 5.6 Lösen von Anwendungsproblemen 307

G 6 Skalarprodukt von Vektoren 310
G 6.1 Definition und Eigenschaften 310
G 6.2 Anwendungen des Skalarprodukts 314
G 6.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden bzw. Ebene; HESSEsche Normalformen 317
G 6.4 Schnittwinkel zweier Ebenen 322

G 7 Kreise und Kugeln 323
G 7.1 Gleichungen von Kreis und Kugel 323
G 7.2 Kreis und Gerade 328
G 7.3 Zwei Kreise 330
G 7.4 Kugel und Gerade 331
G 7.5 Kugel und Ebene 332
G 7.6 Zwei Kugeln 335

G 8 Das Vektorprodukt 336
G 8.1 Definition und Eigenschaften 336
G 8.2 Abstand zweier Geraden 340

G 9 Vektorräume 343
G 9.1 Der Begriff Vektorraum 343
G 9.2 Beispiele für Vektorräume 345
G 9.3 Unterräume und Erzeugendensysteme 347
G 9.4 Basen und Dimension von Unterräumen eines Vektorraumes 349



STOCHASTIK


H Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundfragen ihrer Anwendung 351

H 1 Zufallsexperimente 352
H 1.1 Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen; Baumdiagramme 352
H 1.2 Zufällige Ereignisse; Verknüpfen von Ereignissen 354
H 1.3 Absolute und relative Häufigkeiten; empirisches Gesetz der großen Zahlen 357
H 1.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung; KOLMOGOROWsches Axiomensystem; Additionssatz 361
H 1.5 Vier- und Mehrfeldertafeln; Zerlegungen der Ergebnismenge 364

H 2 Gleichverteilung 367
H 2.1 Der Begriff Gleichverteilung (LAPLACE-Experimente) 367
H 2.2 Rechenregel für die Gleichverteilung (LAPLACE-Regel) 368
H 2.3 Verschiedene Modelle für ein und dasselbe Zufallsexperiment 371
H 2.4 Baumdiagramme; Pfadregeln 372
H 2.5 Zählprinzip bei k-Tupeln 375
H 2.6 Zählprinzip bei n-elementigen Mengen 378
H 2.7 Urnenmodelle; Ziehen mit und ohne Zurücklegen; hypergeometrische Verteilung 380
H 2.8 Simulation mithilfe von Zufallszahlen 385

H 3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 389
H 3.1 Der Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit;allgemeiner Multiplikationssatz 389
H 3.2 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit 392
H 3.3 BAYESsche Formel 394
H 3.4 Unabhängigkeit von Ereignissen; spezieller Multiplikationssatz 396

H 4 Zufallsgrößen 399
H 4.1 Endliche Zufallsgrößen 399
H 4.2 Erwartungswert 401
H 4.3 Streuung 406

H 5 Binomialverteilung 414
H 5.1 BERNOULLI-Experimente 414
H 5.2 BERNOULLI-Ketten; binomialverteilte Zufallsgrößen 415
H 5.3 Tabellierungen zur Binomialverteilung 418
H 5.4 Grafische Veranschaulichung der Binomialverteilung Bn; p 421
H 5.5 Erwartungswert und Streuung (Varianz) binomialverteilter Zufallsgrößen 424
H 5.6 Simulation von BERNOULLI-Ketten mit dem Taschenrechner 427
H 5.7 Grenzwertsatz vonDEMOIVRE-LAPLACEzur Binomialverteilung 428
H 5.8 Normalverteilung 431
H 5.9 Zentraler Grenzwertsatz 438


J Statistik 439

J 1 Testen von Hypothesen – Testverfahren 440
J 1.1 Grundprobleme des Testens von Hypothesen 440
J 1.2 Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit; Alternativtests 445
J 1.3 Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit; Signifikanztests 454
J 1.4 Zur Qualität statistischer Tests; Gütefunktion 461

J 2 Anwendungen aus verschiedenen Bereichen 463


Register 474