ANALYSIS


A Funktionen 7

A 1 Der Begriff Funktion 7

A 2 Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften 10
A 2.1 Lineare Funktionen 10
A 2.2 Quadratische Funktionen 12
A 2.3 Potenzfunktionen 15
A 2.4 Kurvenscharen 17
A 2.5 Trigonometrische Funktionen 18
A 2.6 Exponential- und Logarithmusfunktion 24

A 3 Verknüpfen, Verketten und Umkehren von Funktionen 28

A 4 Weitere reelle Funktionen 34
Aufgaben zur Selbstkontrolle 36


B Arbeiten mit Zahlenfolgen 38

B 1 Zahlenfolgen 38
B 1.1 Der Begriff Zahlenfolge 38
B 1.2 Darstellungsmöglichkeiten von Zahlenfolgen 38

B 2 Eigenschaften von Zahlenfolgen 40
B 2.1 Monotonie und Beschränktheit 40
B 2.2 Partialsummen und Partialsummenfolgen 40

B 3 Spezielle Zahlenfolgen 42
B 3.1 Arithmetische Zahlenfolgen 42
B 3.2 Geometrische Zahlenfolgen 42
Aufgaben zur Selbstkontrolle 48


C Grenzwerte von Zahlenfolgen und Funktionen 49

C 1 Konvergenz und Grenzwerte von Zahlenfolgen 49

C 2 Grenzwertsätze für Zahlenfolgen 51

C 3 Grenzwerte von Funktionen 55
Aufgaben zur Selbstkontrolle 61


D Grundfragen der Differentialrechnung und ihrer Anwendung 63

D 1 Anliegen und Grundbegriffe der Differentialrechnung 63
D 1.1 Der Begriff Ableitung einer Funktion 63
D 1.2 Differenzierbarkeit und Ableitungsfunktion 67

D 2 Regeln zur Ableitung von Funktionen 68
D 2.1 Konstantenregel, Faktorregel und Potenzregel 68
D 2.2 Summen-, Produkt- und Quotientenregel 69
D 2.3 Kettenregel 72

D 3 Ableitung elementarer Funktionen 73
D 3.1 Ableitung von Potenzfunktionen 73
D 3.2 Ableitung von trigonometrischen Funktionen 74
D 3.3 Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen 75
D 3.4 Ableitungen höherer Ordnung 77

D 4 Sätze über differenzierbare Funktionen 78

D 5 Anwenden der Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionseigenschaften 79
D 5.1 Monotonieverhalten 79
D 5.2 Extrema 80
D 5.3 Krümmungsverhalten und Wendestellen 81
D 5.4 Verhalten im Unendlichen 82
D 5.5 Definitionslücken 83
D 5.6 Kurvendiskussion an Beispielen 83

D 6 Ermitteln der Gleichungen ganzrationaler Funktionen 86

D 7 Extrem Wertprobleme 88
Aufgaben zur Selbstkontrolle 93


E Integralrechnung 95

E 1 Das unbestimmte Integral 95
E 1.1 Die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral 95
E 1.2 Regeln für das Ermitteln von unbestimmten Integralen 95

E 2 Das bestimmte Integral 98
E 2.1 Flächeninhalt unter der Normalparabel 98
E 2.2 Der Begriff bestimmtes Integral 98
E 2.3 Begriffserweiterung und Eigenschaften bestimmter Integrale 98

E 3 Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral 102
E 3.1 Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Integrationsgrenze 102
E 3.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 102

E 4 Berechnen bestimmter Integrale 103

E 5 Weitere Integrationsmethoden 105
E 5.1 Integration durch lineare Substitution 105
E 5.2 Partielle Integration 105

E 6 Anwendungen der Integralrechnung 106
E 6.1 Ermitteln von Flächeninhalten 106
E 6.2 Physikalische Probleme 106
E 6.3 Berechnen des Volumens von Rotationskörpern 106

E 7 Integration weiterer Funktionen; Anwendungen 117
E 7.1 Integration trigonometrischer Funktionen 117
E 7.2 Integration von Exponential- und Logarithmusfunktionen 117
Aufgaben zur Selbstkontrolle 122
Komplexe Aufgaben zu Kapitel D und E 122



ANALYTISCHE GEOMETRIE


F Analytische Geometrie und lineare Algebra 127

F 1 Vektoren im Anschauungsraum 127
F 1.1 Pfeile und Vektoren 127
F 1.2 Addition und Vervielfachung von Vektoren 128
F 1.3 Vektoren in der Ebene und im Raum: Parallelität, Kollinearität, Komplanarität 131
F 1.4 Linearkombination von Vektoren; Basen in der Ebene und im Raum 133
F 1.5 Koordinatensysteme 135
F 1.6 Punkte, Strecken und Dreiecke in einem Koordinatensystem 139
F 1.7 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 142
F 1.8 Praktische Anwendungen 143
Aufgaben zur Selbstkontrolle 144
Komplexe Aufgaben zu Abschnitt F1 145

F 2 Geraden in Ebene und Raum 148
F 2.1 Punktrichtungsgleichung einer Geraden 148
F 2.2 Zweipunktegleichung einer Geraden 150
F 2.3 Lagebeziehung zweier Geraden 152
F 2.4 Schnittpunkte zweier Geraden 154
F 2.5 Schnittwinkel von zwei Geraden in der Ebene 155
Aufgaben zur Selbstkontrolle 156

F 3 Lineare Gleichungssysteme 157
F 3.1 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen; GAUSSsches Eliminierungsverfahren 157
F 3.2 Lösbarkeit und Lösungsmenge von Gleichungssystemen 158
F 3.3 Koeffizientenmatrix; Matrizen und Vektoren 159
Aufgaben zur Selbstkontrolle 161
Komplexe Aufgaben zu Abschnitt F 3 161

F 4 Ebenen im Raum 162
F 4.1 Gleichungen einer Ebene in Vektorform 162
F 4.2 Gleichung einer Ebene in Koordinatenschreibweise 163
F 4.3 Spezielle Ebenen 164
F 4.4 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene 165
F 4.5 Lagebeziehungen von zwei Ebenen 166
F 4.6 Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen 167
Aufgaben zur Selbstkontrolle 167

F 5 Skalarprodukt von Vektoren 168
F 5.1 Definition und Eigenschaften 168
F 5.2 Anwendungen des Skalarprodukts 168
F 5.3 Schnittwinkel zweier Geraden 169
Aufgaben zur Selbstkontrolle 170

F 6 Weitere Anwendungen des Skalarprodukts von Vektoren 170
F 6.1 Gleichungen von Geraden und Ebenen in HESSEscher Normalform 170
F 6.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden in der Ebene bzw. von einer Ebene im Raum 171
F 6.3 Schnittwinkel zweier Ebenen 172
F 6.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum 173
F 6.5 Abstand windschiefer Geraden 173
Aufgaben zur Selbstkontrolle 173

F 7 Kreis und Kugel 174
F 7.1 Definitionen und Gleichungen 174
F 7.2 Kreis und Gerade 175
F 7.3 Kugel und Ebene 176

F 8 Vektorprodukt von Vektoren 176
F 8.1 Definition und Eigenschaften 176
F 8.2 Anwendungen des Vektorprodukts 176



STOCHASTIK


G Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundfragen ihrer Anwendung 177

G 1 Zufallsexperimente 177
G 1.1 Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen; Baumdiagramme 177
G 1.2 Zufällige Ereignisse; Verknüpfen von Ereignissen 178
G 1.3 Absolute und relative Häufigkeiten; empirisches Gesetz der großen Zahlen 181
G 1.4 Zufallsexperimente mit dem Taschenrechner 183
G 1.5 Wahrscheinlichkeitsverteilung; Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten 185
G 1.6 Vier- und Mehrfeldertafeln; Zerlegungen der Ergebnismenge 187
Aufgaben zur Selbstkontrolle 189

G 2 Gleichverteilung 189
G 2.1 Der Begriff Gleichverteilung (LAPLACE-Experimente) 189
G 2.2 Rechenregel für die Gleichverteilung (Laplace-Regel) 190
G 2.3 Baumdiagramme; Pfadregeln 191
G 2.4 Zählprinzip bei k-Tupeln 193
G 2.5 Zählprinzip bei n-elementigen Mengen 197
G 2.6 Urnenmodelle; Ziehen mit und ohne Zurücklegen 199
G 2.7 Simulation mithilfe von Zufallszahlen 201
Aufgaben zur Selbstkontrolle 202

G 3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 203
G 3.1 Der Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit; allgemeiner Multiplikationssatz 203
G 3.2 Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten 208
G 3.3 Unabhängigkeit von Ereignissen; spezieller Multiplikationssatz 211
Aufgaben zur Selbstkontrolle 215

G 4 Zufallsgrößen 215
G 4.1 Endliche Zufallsgrößen 215
G 4.2 Erwartungswert 216
G 4.3 Streuung (Varianz) 220
Aufgaben zur Selbstkontrolle 221

G 5 Binomialverteilung 222
G 5.1 BERNOULLI-Experimente 222
G 5.2 BERNOULLI-Ketten; binomialverteilte Zufallsgrößen 223
G 5.3 Tabellierungen zur Binomialverteilung 227
G 5.4 Erwartungswert und Streuung binomialverteilter Zufallsgrößen 231
G 5.5 Simulation von BERNOULLI-Ketten mit dem Taschenrechner 234
G 5.6 Grenzwertsatz von DE MOIVRE-LAPLACE zur Binomialverteilung 235
Aufgaben zur Selbstkontrolle 237
Komplexe Aufgaben zu Kapitel G 238


H Statistik 241

H 1 Testen von Hypothesen - Testverfahren 241
H 1.1 Grundprobleme des Testens von Hypothesen 241
H 1.2 Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit; Alternativtests 243
H 1.3 Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit; Signifikanztests 245

H 2 Anwendungen aus verschiedenen Bereichen 250
H 2.1 Praktische Probleme - immer wieder Signifikanztests 250
H 2.2 Ein "Etikettierungsproblem" - der Alternativtest hilft 250
H 2.3 Hohe Produktqualität - wenig Ärger mit den Käufern 250
Aufgaben zur Selbstkontrolle 255