ANALYSIS


A Funktionen 9

A 1 Der Begriff Funktion 10

A 2 Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften 15
A 2.1 Lineare Funktionen 16
A 2.2 Quadratische Funktionen 17
A 2.3 Potenzfunktionen 20
A 2.4 Kurvenscharen 22
A 2.5 Trigonometrische Funktionen 24
A 2.6 Exponential- und Logarithmusfunktion 30

A 3 Verknüpfen, Verketten und Umkehren von Funktionen 34

A 4 Weitere reelle Funktionen 42


B Zahlenfolgen 45

B 1 Zahlenfolgen 46
B 1.1 Der Begriff Zahlenfolge 46
B 1.2 Darstellungsmöglichkeiten von Zahlenfolgen 47

B 2 Eigenschaften von Zahlenfolgen 49
B 2.1 Monotonie und Beschränktheit 49
B 2.2 Partialsummen und Partialsummenfolgen 53

B 3 Spezielle Zahlenfolgen 54
B 3.1 Arithmetische Zahlenfolgen 54
B 3.2 Geometrische Zahlenfolgen 57


C Grenzwerte von Zahlenfolgen und Funktionen 63

C 1 Konvergenz und Grenzwerte von Zahlenfolgen 64

C 2 Grenzwertsätze für Zahlenfolgen 67

C 3 Grenzwerte von Funktionen 69


D Grundfragen der Differentialrechnung und ihrer Anwendung 75

D 1 Anliegen und Grundbegriffe der Differentialrechnung 76
D 1.1 Der Begriff Ableitung einer Funktion 76
D 1.2 Differenzierbarkeit und Ableitungsfunktion 81

D 2 Regeln zur Ableitung von Funktionen 83
D 2.1 Konstantenregel, Faktorregel und Potenzregel 83
D 2.2 Summen-, Produkt- und Quotientenregel 85
D 2.3 Kettenregel 87

D 3 Ableitung elementarer Funktionen 89
D 3.1 Ableitung von Potenzfunktionen 89
D 3.2 Ableitung von trigonometrischen Funktionen 90
D 3.3 Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen 91
D 3.4 Ableitungen höherer Ordnung 95

D 4 Sätze über differenzierbare Funktionen 95

D 5 Anwenden der Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionseigenschaften 97
D 5.1 Monotonieverhalten 97
D 5.2 Extrema 100
D 5.3 Krümmungsverhalten und Wendestellen 105
D 5.4 Verhalten im Unendlichen 108
D 5.5 Definitionslücken 111
D 5.6 Kurvendiskussionen an Beispielen 113

D 6 Ermitteln der Gleichungen ganzrationaler Funktionen 118

D 7 Extremwertprobleme 124


E Grundfragen der Integralrechnung 127

E 1 Das unbestimmte Integral 128
E 1.1 Die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral 128
E 1.2 Regeln für das Ermitteln von unbestimmten Integralen 131

E 2 Das bestimmte Integral 134
E 2.1 Flächeninhalt unter der Normalparabel 134
E 2.2 Der Begriff bestimmtes Integral 139
E 2.3 Begriffserweiterung und Eigenschaften bestimmter Integrale 146

E 3 Beziehung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral 148
E 3.1 Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Integrationsgrenze 148
E 3.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 149

E 4 Berechnen bestimmter Integrale 150

E 5 Weitere Integrationsmethoden 151
E 5.1 Integration durch lineare Substitution 152
E 5.2 Partielle Integration 153

E 6 Anwendungen der Integralrechnung 154
E 6.1 Ermitteln von Flächeninhalten 154
E 6.2 Physikalische Probleme 162
E 6.3 Berechnen des Volumens von Rotationskörpern 165

E 7 Integration weiterer Funktionen; Anwendungen 168
E 7.1 Integration trigonometrischer Funktionen 168
E 7.2 Integration von Exponential- und Logarithmusfunktionen 169



ANALYTISCHE GEOMETRIE


F Analytische Geometrie und lineare Algebra 172

F 1 Vektoren im Anschauungsraum 172
F 1.1 Pfeile und Vektoren 172
F 1.2 Addition und Vervielfachung von Vektoren 174
F 1.3 Vektoren in der Ebene und im Raum: Parallelität, Kollinearität, Komplanarität 180
F 1.4 Linearkombination von Vektoren; Basen in der Ebene und im Raum 181
F 1.5 Koordinatensysteme 186
F 1.6 Punkte, Strecken und Dreiecke in einem Koordinatensystem 190
F 1.7 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 193
F 1.8 Praktische Anwendungen 196

F 2 Geraden in Ebene und Raum 199
F 2.1 Punktrichtungsgleichung einer Geraden 199
F 2.2 Zweipunktegleichung einer Geraden 204
F 2.3 Lagebeziehungen zweier Geraden 206
F 2.4 Schnittpunkte von zwei Geraden 208
F 2.5 Schnittwinkel von zwei Geraden in der Ebene 212

F 3 Lineare Gleichungssysteme 214
F 3.1 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen; GAUSSsches Eliminierungsverfahren 214
F 3.2 Lösbarkeit und Lösungsmenge von Gleichungssystemen 218
F 3.3 Koeffizientenmatrix; Matrizen und Vektoren 222

F 4 Ebenen im Raum 226
F 4.1 Gleichung einer Ebene in Vektorform 226
F 4.2 Gleichung einer Ebene in Koordinatenschreibweise 229
F 4.3 Spezielle Ebenen 231
F 4.4 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene 233
F 4.5 Lagebeziehungen von zwei Ebenen 235
F 4.6 Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen 237

F 5 Skalarprodukt von Vektoren 242
F 5.1 Definition und Eigenschaften 242
F 5.2 Anwendungen des Skalarprodukts 245
F 5.3 Schnittwinkel zweier Geraden 248

F 6 Weitere Anwendungen des Skalarprodukts von Vektoren 249
F 6.1 Gleichungen von Geraden und Ebenen in HESSEscher Normalform 249
F 6.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden in der Ebene bzw. von einer Ebene im Raum 252
F 6.3 Schnittwinkel zweier Ebenen 254
F 6.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum 255
F 6.5 Abstand windschiefer Geraden 256
F 7 Kreis und Kugel 258
F 7.1 Definitionen und Gleichungen 258
F 7.2 Kreis und Gerade 261
F 7.3 Kugel und Ebene 263
F 8 Vektorprodukt von Vektoren 264
F 8.1 Definition und Eigenschaften 264
F 8.2 Anwendungen des Vektorprodukts 265



STOCHASTIK


G Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundfragen ihrer Anwendung 267

G 1 Zufallsexperimente 268
G 1.1 Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen; Baumdiagramme 268
G 1.2 Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente 268
G 1.3 Zufällige Ereignisse; Verknüpfen von Ereignissen 270
G 1.4 Absolute und relative Häufigkeiten; empirisches Gesetz der großen Zahlen 272
G 1.5 Zufallsexperimente mit dem Taschenrechner 276
G 1.6 Wahrscheinlichkeitsverteilung; Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten 278
G 1.7 Vier- und Mehrfeldertafeln; Zerlegungen der Ergebnismenge 281

G 2 Gleichverteilung 283
G 2.1 Der Begriff Gleichverteilung (LAPLACE-Experimente) 283
G 2.2 Rechenregel für die Gleichverteilung (LAPLACE-Regel) 284
G 2.3 Baumdiagramme; Pfadregeln 287
G 2.4 Zählprinzip bei k-Tupeln 289
G 2.5 Zählprinzip bei n-elementigen Mengen 293
G 2.6 Urnenmodelle; Ziehen mit und ohne Zurücklegen 296
G 2.7 Simulation mithilfe von Zufallszahlen 301

G 3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 303
G 3.1 Der Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit; allgemeiner Multiplikationssatz 303
G 3.2 Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten 307
G 3.3 Unabhängigkeit von Ereignissen; spezieller Multiplikationssatz 310

G 4 Zufallsgrößen 313
G 4.1 Endliche Zufallsgrößen 313
G 4.2 Erwartungswert 316
G 4.3 Streuung (Varianz) 318

G 5 Binomialverteilung 320
G 5.1 BERNOULLI-Experimente 320
G 5.2 BERNOULLI-Ketten; binomialverteilte Zufallsgröße 320
G 5.3 Tabellierungen zur Binomialverteilung 324
G 5.4 Erwartungswert und Streuung binomialverteilter Zufallsgrößen 328
G 5.5 Simulation von BERNOULLI-Ketten mit dem Taschenrechner 331
G 5.6 Grenzwertsatz von DEMOIVRE-LAPLACE zur Binomialverteilung 332


H Statistik und Grundfragen ihrer Anwendung 339

H 1 Testen von Hypothesen – Testverfahren 340
H 1.1 Grundprobleme des Testens von Hypothesen 340
H 1.2 Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit; Alternativtests 345
H 1.3 Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit; Signifikanztests 354

H 2 Anwendungen aus verschiedenen Bereichen 362
H 2.1 Praktische Probleme – immer wieder Signifikanztests 362
H 2.2 Ein „Etikettierungsproblem“ – der Alternativtest hilft 364
H 2.3 Hohe Produktqualität – wenig Ärger mit den Käufern; Untersuchungen mittels Signifikanz- und Alternativtests 366


Register 371