Lineare Algebra und Analytische Geometrie


7. Lineare Gleichungssysteme 5

7.1 Entwickeln eines Lösungsverfahrens für lineare Gleichungssysteme 5

7.2 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösungen und mit unendlich vielen Lösungen 5

7.3 Anwendungen linearer Gleichungssysteme 7


8. Vektorrechnung - Punkte und Geraden im Raum 14

8.1 Kartesisches Koordinatensystem 14

8.2 Ursprungsgeraden - Vektoren und ihre Vervielfachung 16

8.3 Verschiebungen - Addieren und Subtrahieren von Vektoren 17

8.4 Parameterdarstellungen von Geraden 22

8.5 Lageaufgaben 26
8.5.1 Punkt und Gerade (Punktprobe) 26
8.5.2 Gegenseitige Lage zweier Geraden 28

8.6 Vermischte Übungen 30
Blickpunkt: Lösen von Lageaufgaben mit einem CAS 38


9. Skalarprodukt von Vektoren -Berechnen geometrischer Größen 39

9.1 Länge eines Vektors - Abstand zweier Punkte 39

9.2 Orthogonalität - Skalarprodukt von Vektoren - Winkelberechnung 41
9.2.1 Orthogonalität - Skalarprodukt von Vektoren 41
9.2.2 Geometrische Bedeutung des Skalarprodukts - Winkelberechnung 43

9.3 Berechnen von Abständen 45
9.3.1 Abstand eines Punktes von einer Geraden - Flächeninhalte 45
9.3.2 Abstand zueinander windschiefer Geraden 47

9.4 Vermischte Übungen 52


10. Analytische Geometrie in Ebenen 57

10.1 Beschreibung von Ebenen durch Parameterdarstellungen 57
10.1.1 Gewinnen einer Parameterdarstellung 57
10.1.2 Punkt und Ebene 60
10.1.3 Verschiedene Parameterdarstellungen einer Ebene - Linearkombination von Vektoren 61

10.2 Beschreiben von Ebenen durch Koordinatengleichungen 67

10.3 Von einer Koordinatengleichung einer Ebene zu einer Parameterdarstellung und umgekehrt 70

10.4 Lageaufgaben 75
10.4.1 Gerade und Ebene 75
10.4.2 Zwei Ebenen 79
Blickpunkt: Gegenseitige Lage dreier Ebenen und Lösungen linearer Gleichungssysteme 82

10.5 Berechnung von geometrischen Größen 83
10.5.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene - Rauminhalte 83
10.5.2 Winkel zwischen zwei Ebenen 89

10.6 Vermischte Übungen 97


11. Matrizen 114

11.1 Matrizen - Addieren und Vervielfachen 114

11.2 Multiplikation von Matrizen 116

11.3 Rechengesetze für die Multiplikation von Matrizen 118

11.4 Abbildungen von Matrizen 120
11.4.1 Abbildungen in der Ebene 120
11.4.2 Abbildungen im Raum 123
Blickpunkt: Matrizen zur Beschreibung des Wachstums von Populationen 125


12. Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung - Lineare Algebra und Analytische Geometrie 129



Stochastik


13. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 145

13.1 Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit 145
13.1.1 Merkmale und deren absolute und relative Häufigkeit 145
13.1.2 Fehlerinterpretation und Manipulation von statistischen Daten 149
13.1.3 Empirisches Gesetz der großen Zahlen 150
13.1.4 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten durch Simulation 153

13.2 Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten 154
13.2.1 Grundregeln 154
13.2.2 Pfadregeln 157
13.2.3 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien 160
13.2.4 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten bei Stichproben 162
Blickpunkt: Das Geburtstagsproblem oder Wiederholungen treten bei Zufallsversuchen öfter auf als man vermutet 163

13.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit - Satz von Bayes 165
13.3.1 Baumdiagramme und Vierfeldertafeln 165
13.3.2 Umkehrung von Baumdiagrammen bedingte Wahrscheinlichkeiten 167
13.3.3 Anwendung des Satz von Bayes: Chancen für die Richtigkeit von Hypothesen 173

13.4 Vermischte Übungen 176


14. Zufallsgrößen - Verteilungen -Erwartungswert 183

14.1 Mittelwert der Häufigkeitsverteilung eines Merkmals 183

14.2 Streuung um den Mittelwert -Streuungsmaße 184

14.3 Zufallsgrößen - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Erwartungswert 185
14.3.1 Zufallsgrößen und deren Verteilungen 185
14.3.2 Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 191
14.3.3 Varianz und Standardabweichung als Maße für die Streuung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 195

14.4 Bernoulli-Versuche und ihre Verteilungen 195
14.4.1 Bernoulli-Versuche und Binomialverteilungen 195
14.4.2 Kumulierte Binomialverteilungen 199
14.4.3 Erwartungswert einer Binomialverteilung 202
14.4.4 Binomialverteilung und Ziehen ohne Zurücklegen (Stichprobennahme) 202

14.5 Der Alternativtest 204
14.5.1 Das Entscheidungsverfahren -Möglichkeiten und Fehler 204
14.5.2 Entscheidungsregel bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha 207

14.6 Anwendungen der Binomialverteilung 209
14.6.1 Das Kugel-Fächer-Modell 209
Blickpunkt: Das - - Gesetz und die
Eulersche Zahl e in der Stochastik 213
14.6.2 Ein Auslastungsmodell 214
14.6.3 Warten auf einen Erfolg 215
Blickpunkt: Test auf Zufälligkeit 215

14.7 Binomialverteilung bei großem Stichprobenumfang 217
14.7.1 Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen 217
14.7.2 Wahrscheinlichkeiten von Sigma-Umgebungen 218

14.8 Vermischte Übungen 219


15. Beurteilende Statistik 225

15.1 Schluss von der Gesamtheit auf eine Stichprobe 225
15.1.1 Schätzung zu erwartender absoluter Häufigkeiten 225
15.1.2 Schätzung zu erwartender relativer Häufigkeiten 226

15.2 Hypothesentest bei großem Stichprobenumfang 230
15.2.1 Testen einer zweiseitigen Hypothese 230
15.2.2 Fehler beim Testen von Hypothesen 232
15.2.3 Testen einer einseitigen Hypothese 232
15.2.4 Auswahl der Hypothese bei einseitigen Tests 235

15.3 Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit - Schätzen von Parametern für binomialverteilte Zufallsgrößen 237

15.4 Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs 238

15.5 Vermischte Übungen 240


16. Aufgaben zur Vorbereitung auf Abiturprüfung-Stochastik 242