1. Funktionen 5

1.1 Funktionsbegriff -Modellieren von Sachverhalten
1.1.1 Funktionen und ihre Darstellung 5
1.1.2 Folgen und ihre Darstellung 13

1.2 Lineare Funktionen - Geraden
1.2.1 Begriff der linearen Funktion 16
1.2.2 Koordinatengeometrie mit Geraden 18
1.2.3 Vermischte Übungen 25

1.3 Quadratische Funktionen
1.3.1 Begriff der quadratischen Funktion 28
1.3.2 Verschieben und Strecken von Parabeln 31
1.3.3 Lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung quadratischer Funktion 34
1.3.4 Quadratwurzelfunktion als Umkehrung einer Quadratfunktion 36
1.3.5 Vermischte Übungen 41

1.4 Potenzfunktionen - Ganzrationale Funktionen
1.4.1 Potenzfunktionen 45
1.4.2 Begriff der ganzrationalen Funktion -Globalverlauf 46
1.4.3 Nullstellen einer ganzrationalen Funktion - Polynomdivision 47

1.5 Trigonometrische Funktionen
1.5.1 Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis 54
1.5.2Das Bogenmaß eines Winkels -Sinus- und Kosinusfunktion mit R als Definitionsbereich 57
1.5.3 Die allgemeine Sinusfunktion - Modellieren periodischer Vorgänge 59

1.6 Exponentialfunktionen
1.6.1 Der Begriff der Exponentialfunktion 64
1.6.2 Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion 64
1.6.3 Geometrische Folgen 73
1.6.4 Geometrische Reihen als Folgen 74

1.7 Scharen von Funktionen 79

1.8 Vermischte Übungen 83
Blickpunkt: Grafikfähige Taschenrechner 88


2. Grenzwerte bei Folgen und Funktionen 92

2.1 Grenzwerte bei Folgen
2.1.1 Grenzwert einer Folge 92
2.1.2 Grenzwertsätze für Folgen 94
2.1.3 Konvergenz der geometrischen Reihe 98

2.2 Grenzwerte bei Funktionen
2.2.1 Stellenwert einer Funktion an der Stelle a 101
2.2.2 Grenzwertsätze für Funktionen 105


3. Differentialrechnung 109

3.1 Berechnen der Tangentensteigung bei Graphen
3.1.1 Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt 109
3.1.2 Berechnen der Tangentensteigung beim Graphen von x --> x hoch 2 114
3.1.3 Bestimmen der Ableitung bei weiteren Funktionen 117
3.1.4 Vermischte geometrische Anwendungen 121

3.2 Analytische Definition der Ableitung
3.2.1 Sonderfälle und Probleme bei der Berechnung der Tangente 123
3.2.2 Analytische Definition der Ableitung -Differenzierbarkeit 125
3.2.3 Ableitungsfunktion - erste, zweite, dritte, ...Ableitung 125
Blickpunkt: CAS als Hilfsmittel zur Visualisierung 129

3.3 Ableitungsregeln
3.3.1 Potenzregel 131
3.3.2 Faktorregel 131
3.3.3 Summen- und Differenzregel 132

3.4 Anwendungen des Begriffs Ableitung
3.4.1 Geschwindigkeit als punktuelle Änderungsrate 135
3.4.2 Dichte eines Gases als punktuelle Änderungsrate 136
3.4.3 Weitere Beispiele für Änderungsraten in den Anwendungen 137
3.4.4 Das Newton-Verfahren 138
3.4.5 Vermischte Übungen 143
Blickpunkt: Grenzsteuer - Spitzensteuersatz 152


4. Funktionsuntersuchungen 154

4.1 Extremstellen - Notwendiges Kriterium 154

4.2 Hinreichende Kriterien für Extremstellen - Monotoniesatz
4.2.1 Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung als hinreichendes Kriterium für Extremstellen 161
4.2.2 Monotonie und Vorzeichen der Ableitung 166
4.2.3 Hinreichendes Kriterium für relative Extremstellen mittels der 2. Ableitung 170

4.3 Linkskurve, Rechtskurve -Wendepunkte 172

4.4 Ausführliche Untersuchung ganzrationale Funktionen 181

4.5 Vermischte Übungen 217
Blickpunkt: Verkehrsfluss in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit 242


5. Bestimmen von Funktionen - Extremwertaufgaben 245

5.1 Bestimmen ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften 245

5.2 Extremwertprobleme 256

5.3 Untersuchung von Funktionsscharen 271
Blickpunkt: Safttüte mit minimalem Materialbedarf 278


Anhang 280

I. Weitere Ableitungsregeln 280

I.1 Spezialfall der Kettenregel 280

I.2 Produktregel 281

I.3 Quotientenregel 284