Über den Autor 9
Danksagung 9

Einleitung 25

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik
anhand vieler Beispiele 25
Überall praktische Beispiele 25
Törichte Annahmen über den Leser 26
Konventionen in diesem Buch 26
Wie dieses Buch strukturiert ist 27
Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 27
Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 27
Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 27
Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 27
Teil V: Differentiation und Integralrechnung für eine Variable 28
Teil VI: Differentiation und Integralrechnung für zwei Variablen 28
Teil VII: Der Top-Ten-Teil 28
Die Symbole in diesem Buch 29
Den modularen Aufbau für sich nutzen 29

Teil I
Zahlen und Rechenoperationen 31

Kapitel 1
Zahlen und Grundrechenarten 33

Mathematik und ihre natürlichen Zahlen 33
Eigenschaften der Grundrechenarten 35
Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 36
Aufgaben mit Klammern richtig lösen 39
Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders 39
Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche 42
Und plötzlich wird’s irrational… und real! 44
Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 46
Das Summenzeichen 47

Kapitel 2
Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 49

Alles über Mengen 49
Mengen im Supermarkt? 49
Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 50
Von Zahlen, Mengen und Intervallen 52
Mit Mengen einfach rechnen können 52
Venn-Diagramme 56
Prozentrechnung für den Alltag 58
Nur zwei Prozent Mieterhöhung 59
Das eigene Heim trotz Provision? 59
Die Bären kommen – Sinkende Aktienkurse 59
Bullen im Vormarsch – Steigende Kurse 59
Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 60
Immer auf die genaue Formulierung achten 60
Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 60
Zinsrechnung zum Verstehen 61
Lohnender Zinsertrag 61
Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 61
Suche nach dem Startkapital 62
Taggenaue Zinsen 62
Kapitalwachstum: Zinseszins 62
Eine feste Anlage für zehn Jahre 63
Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 63
Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 64
Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 64

Kapitel 3
Logische Grundlagen und Beweismethoden 65

Logische Grundlagen 65
Wahre und falsche Aussagen 65
Aussagen verknüpfen 66
Die Mathematik als Sprache erkennen 67
Terme als die Worte im mathematischen Satz 68
Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 68
Mit Quantoren neue Formeln bilden 69
Notwendige und hinreichende Bedingungen 71
Die Unendlichkeit – unzählige Welten? 73
Mit abzählbaren Mengen zählen lernen 73
Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen 75
Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 76
Methode 1: Direkter Beweis 77
Methode 2: Indirekter Beweis 77
Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 79
Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 80

Kapitel 4
Grundlagen von Gleichungen und Ungleichungen 83

Gleichungen in Angriff nehmen 83
Ungleichungen in den Griff bekommen 88
Beträge ins Spiel bringen 89

Teil II
Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 93

Kapitel 5
Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen 95

Was komplexe Zahlen wirklich sind 95
Komplexe Rechenoperationen 96
Die komplexe Addition 97
Die komplexe Multiplikation 97
Die Konjugierte einer komplexen Zahl 97
Die komplexe Division 98
Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 98
Komplexe quadratische Gleichungen 99
Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 100
Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 101
Der Betrag einer komplexen Zahl 101
Einmal Polarkoordinaten und zurück 102
Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 103
Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 103
Komplexe Potenzen und Wurzeln 104
Anwendungen komplexer Zahlen 106

Kapitel 6
Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 109

Vektoren erleben 109
Vektoren veranschaulichen 111
Mit Vektoren anschaulich rechnen 112
Mit Vektoren rechnen 113
Betrag eines Vektors berechnen 116
Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 117
Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen 119
Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 122
Arten von Linearen Gleichungssystemen 125
Homogene Gleichungssysteme 126
Inhomogene Gleichungssysteme 126
Überbestimmte Gleichungssysteme 127
Unterbestimmte Gleichungssysteme 128
Quadratische Gleichungssysteme 128
Nicht lösbare Gleichungssysteme 129
Graphische Lösungsansätze für LGS 130

Kapitel 7
Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen 131

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 131
Punkte im Raum 131
Parametergleichung für Geraden 132
Zweipunktegleichung für Geraden 134
Parametergleichung für Ebenen 135
Dreipunktegleichung für Ebenen 136
Koordinatengleichung für Ebenen 136
Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 137
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 139
Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 146

Kapitel 8
Überleben in der Welt der Matrizen 149

Was Matrizen eigentlich sind 149
Addition von Matrizen 150
Skalarmultiplikation von Matrizen 151
Multiplikation von Matrizen 151
Matrizen in Produktionsprozessen 152
Transponierte und symmetrische Matrizen 154
Keine Angst vor inversen Matrizen 154
Matrizen und lineare Gleichungssysteme 155
Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 156
Der Rang von Matrizen 161
Matrizen invertieren in der Praxis 162
Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 163
Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 164
Matrizen und lineare Abbildungen 164
Lineare Abbildungen an Beispielen 165
Matrizen als lineare Abbildungen 166
Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 166
Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 167
Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 169
Matrizen und ihre Determinanten 171
Determinanten von 2 × 2-Matrizen 171
Determinanten von 3 × 3-Matrizen 171
Determinanten von allgemeinen Matrizen 172
Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 175
Die Cramersche Regel 175
Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 178
Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 179
Kreuzprodukt von Vektoren 180
Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene 182
Drehungen in der Ebene 182
Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 185
Spiegelungen in der Ebene 185
Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 187

Teil III
Funktionen, Folgen und Reihen 189

Kapitel 9
Was Funktionen sind! 191

Was Funktionen eigentlich sind 191
Graphische Darstellung von Funktionen 193
Polynome einfach verstehen 194
Bruchrechnung: Rationale Funktionen 197
Keine Angst vor der Polynomdivision 198
Rasch wachsende Exponentialfunktionen 200
Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 201
Von Umkehr- und inversen Funktionen 202
Trigonometrische Funktionen 203
Trigonometrische Funktionen zeichnen 204
Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten 205
Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 205

Kapitel 10
Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 209

Grenzwerte einer Funktion verstehen 209
Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 209
Links- und rechtsseitige Grenzwerte 210
Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet! 211
Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 211
Grenzwerte für x gegen unendlich 212
Stetigkeit von Funktionen 213
Einfache Grenzwerte auswerten 216
Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 216
Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 217
Methode 1: Faktorisieren 217
Methode 2: Konjugierte Multiplikation 217
Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 218
Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 218
Grenzwerte bei unendlich auswerten 221
Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 221
Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 222

Kapitel 11
Von Folgen und Reihen 223

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 223
Folgen aneinanderreihen 223
Reihen summieren 227
Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 229
Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 229
Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen
auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 230
Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 233
Quotienten- und Wurzelkriterium 236
Alternierende Reihen 238
Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 238
Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 239
Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 242
Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 244
Potenzreihen (er)kennen 244
Konvergenzbereich von Potenzreihen 246
Rechnen Sie mit Potenzreihen 247
Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 248

Teil IV
Keine Angst vor Geometrie 251

Kapitel 12
Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundlagen der Geometrie 253

Geraden, Strahlen und Winkel 253
Winkel an geschnittenen Geraden 256
Strecken in der Ebene 257
Mit den Strahlensätzen rechnen 257
Goldener Schnitt 259
Das allgemeine Dreieck 261
Das gleichschenklige Dreiecke 262
Das gleichseitige Dreieck 263
Das rechtwinklige Dreieck 263
Interessante Schnittpunkte in Dreiecken 264
Dreiecke und ihre Seitenhalbierende samt Schwerpunkte 265
Dreiecke und ihr Mittelsenkrechte samt Umkreise 265
Dreiecke und ihre Winkelhalbierende samt Inkreisen 266
Dreiecke und ihre Höhenschnittpunkt 266
Kongruenz von Dreiecken 267
Ähnlichkeit von Dreiecken 269

Kapitel 13
Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum 271

Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken über n-Ecke zu Kreisen 271
Vierecke (er)kennen lernen 271
Allgemeine und regelmäßige n-Ecke 277
Keine Angst vor Kreisen 279
Geometrische Körper – die dreidimensionale Welt 283
Die Welt der Prismen 284
Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben 286
Zylinder aus Prismen entwickeln 289
Aus Pyramiden werden Kegel 290
Die Kugel – schlicht und makellos 291
Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: Optimale Blechbehälter
gesucht! 293
Platonische Körper genießen 294

Teil V
Differential- und Integralrechnung für eine Variable 297

Kapitel 14
Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 299

Erste Schritte des Ableitens 299
Steigungen gesucht! 299
Steigung von Geraden 300
Steigungen von Parabeln 302
Der Differenzenquotient 303
Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 307
Grundlegende Regeln der Differentiation 309
Die Konstantenregel 309
Die Potenzregel 309
Die Koeffizientenregel 309
Die Summenregel – und die kennen Sie schon 310
Trigonometrische Funktionen differenzieren 310
Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 310
Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 311
Die Produktregel 312
Die Quotientenregel 312
Die Kettenregel 312
Implizite Differentiation 315
Logarithmische Differentiation 317
Differentiation von Umkehrfunktionen 317
Keine Angst vor höheren Ableitungen 319

Kapitel 15
Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 321

Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht 321
Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 322
Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 322
Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 323
Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 323
Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben 323
Halten Sie sich fest – nun geht’s bergab! 323
Jetzt wird’s kritisch an den Punkten! 324
Lokale Extremwerte finden 325
Die kritischen Werte suchen 325
Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 326
Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 327
Globale Extremwerte über einem abgeschlossenem Intervall finden 328
Globale Extrempunkte über den gesamten Definitionsbereich finden 330
Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 332
Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet! 334
Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 336
Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 338
Das nützliche Taylorpolynom 339
Die Regel von l’Hospital 343
Nicht akzeptable Formen in Form bringen 344
Kombinieren der Methoden – nur Geduld! 344

Kapitel 16
Eindimensionale Integration 347

Flächenberechnung – eine Einführung 347
Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 348
Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 352
Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten 354
Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 355
Flächenfunktion beschreiben 356
Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 358
Die erste Version des Hauptsatzes 358
Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 361
Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 363

Kapitel 17
Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 365

Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 365
Umkehrregeln für Stammfunktionen 365
Genial einfach: Raten und Prüfen 366
Die Substitutionsmethode 367
Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 370
Partielle Integration: Teile und Herrsche! 371
Wählen Sie weise! 372
Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 374
Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 374

Kapitel 18
Spezielle Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 377

Integrale mit Sinus und Kosinus 377
Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 377
Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 378
Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 378
Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 379
Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 380
Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 381
Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren
in höherer Potenz 382
Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 383
Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 384
Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 384
Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 385
Bogenlängen bestimmen 387
Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 389

Teil VI
Differential- und Integralrechnung für zwei Variablen 391

Kapitel 19
Kurvendiskussion von Funktionen zweier Variablen 393

Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 393
Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 396
Schnitte von Graphen 396
Höhen- und Niveaulinien von Graphen 397
Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 398
Partielle Ableitungen – auch hier ein Kinderspiel 401
Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 403
Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 403
Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 404
Gewünschte Zugabe: Totales Differential 404
Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variablen 405
Implizite Funktionen differenzieren können 407
Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 408
Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler 410
Kritische Punkte von Funktionen in höheren Dimensionen 410
Hinreichende Kriterien für Extrema und Sattelpunkte 412
Hinreichende Kriterien für Funktionen in zwei Variablen 413
Extremwerte unter Nebenbedingungen 415
Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lösen 415
Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lösen 418
Kopf an Kopf Rennen – beide Verfahren im direkten Vergleich 419

Kapitel 20
Grundlagen der Differentialgleichungen 425

Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen 425
Mit Isoklinen zur Lösung 426
Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 428
Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen 429
Der einfachste Fall: y¢ = f (x) 429
Der Fall: y¢ = f (x) ◊ g(y) – Trennung der Variablen 429
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 431
Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 431
Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 432
Praktische Lösungsmethode: Variation der Konstanten 433
Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 434
Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 436
Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 439
Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 440
Äquivalenz einer Differentialgleichung n-ter Odnung mit einem System
erster Ordnung 441
Lineare Differentialgleichungen n-ter Odnung lösen 442
Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Odnung 442
Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 443
Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung
n-ter Ordnung 444
Anwendungen in der Schwingungslehre 446

Teil VII
Der Top-Ten-Teil 449

Kapitel 21
Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses 451

Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 451
Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 451
Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 452
Schauen Sie auch in die Bücher 452
Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben 452
Gruppenarbeit nicht ausnutzen 452
Lernen Sie nicht nur für die Klausur 453
Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 453
Aus Fehlern lernen 453
Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 454
Zu guter Letzt … 454


Stichwortverzeichnis 455