1 Grundbegriffe der Mathematik

1.1 Mengen
1.1.1 Der Begriff Menge
1.1.2 Mengenrelationen
1.1.3 Mengenoperationen

1.2 Logische Operationen mit Aussagen und Aussageformen

1.3 Definitionen

1.4 Schlussregeln

1.5 Beweise


2 Zahlenfolgen

2.1 Der Begriff Zahlenfolge

2.2 Eigenschaften von Zahlenfolgen
2.2.1 Monotonie und Beschränktheit
2.2.2 Partialsummen
2.3 Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen


3 Funktionen und ihre Eigenschaften

3.1 Der Begriff Funktion

3.2 Darstellung von Funktionen

3.3 Eigenschaften von Funktionen
3.3.1 Monotonie und Beschränktheit
3.3.2 Symmetrie
3.3.3 Periodizität
3.3.4 Umkehrbarkeit
3.3.5 Nullstellen
3.3.6 Abschnittsweise definierte Funktionen

3.4 Verknüpfen und Verketten von Funktionen

3.5 Funktionenscharen

3.6 Klassen reeller Funktionen
3.6.1 Einteilung
3.6.2 Lineare Funktionen
3.6.3 Quadratische Funktionen
3.6.4 Potenzfunktionen
3.6.5 Gebrochenrationale Funktionen
3.6.6 Trigonometrische Funktionen
3.6.7 Exponentialfunktionen
3.6.8 Logarithmusfunktionen
3.6.9 Weitere spezielle reelle Funktionen


4 Gleichungen und Gleichungssysteme

4.1 Lineare, quadratische, biquadratische Gleichungen

4.2 Gleichungen höheren Grades

4.3 Gleichungen mit absoluten Beträgen

4.4 Wurzelgleichungen

4.5 Goniometrische Gleichungen

4.6 Exponential- und Logarithmengleichungen

4.7 Lineare Gleichungssysteme
4.7.1 Gaußsches Eliminierungsverfahren
4.7.2 Lösbarkeit und Lösungsmenge von Gleichungssystemen
4.7.3 Determinanten; Regel von Cramer
4.7.4 Homogene und inhomogene Gleichungssysteme

4.8 Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme


5 Grenzwerte und Stetigkeit

5.1 Grenzwerte und Konvergenz von Zahlenfolgen; Grenzwertsätze

5.2 Reihen

5.3 Grenzwerte von Funktionen; Grenzwertsätze

5.4 Stetigkeit von Funktionen


6 Differenzialrechnung

6.1 Grundbegriffe der Differenzialrechnung
6.1.1 Ableitung einer Funktion
6.1.2 Differenzierbarkeit und Stetigkeit
6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung

6.2 Regeln zur Ableitung von Funktionen
6.2.1 Konstanten-, Potenz- und Faktorregel
6.2.2 Summen-, Produkt- und Quotientenregel
6.2.3 Kettenregel
6.2.4 Umkehrregel
6.2.5 Ableitung von Funktionen in Parameterdarstellung
6.2.6 Partielle Ableitung von Funktionen mit zwei Variablen

6.3 Ableitung elementarer Funktionen
6.3.1 Ableitung von Potenzfunktionen
6.3.2 Ableitung von trigonometrischen Funktionen
6.3.3 Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

6.4 Sätze über differenzierbare Funktionen

6.5 Untersuchung von Funktionseigenschaften
6.5.1 Monotonieverhalten
6.5.2 Extrema
6.5.3 Krümmungsverhalten und Wendestellen
6.5.4 Verhalten im Unendlichen
6.5.5 Unstetigkeitsstellen
6.5.6 Beispiele für Funktionsuntersuchungen

6.6 Extremwertprobleme

6.7 Bestimmen von Funktionsgleichungen
6.7.1 Approximation durch Polynomfunktionen
6.7.2 Die taylorsche Formel für ganzrationale Funktionen
6.7.3 Der Satz von Taylor
6.7.4 Das Verfahren der linearen Regression

6.8 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen
6.8.1 Grafische Suche von Nullstellen
6.8.2 Bisektionsverfahren
6.8.3 Newtonverfahren
6.8.4 Allgemeines Iterationsverfahren


7 Integralrechnung

7.1 Das unbestimmte Integral
7.1.1 Die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral
7.1.2 Regeln für das Ermitteln von unbestimmten Integralen

7.2 Das bestimmte Integral
7.2.1 Flächeninhalt unter der Normalparabel
7.2.2 Der Begriff bestimmtes Integral
7.2.3 Begriffserweiterung und Eigenschaften des bestimmter Integrale

7.3 Beziehung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral
7.3.1 Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze
7.3.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

7.4 Weitere Integrationsmethoden
7.4.1 Integration durch lineare Substitution
7.4.2 Integration durch nichtlineare Substitution
7.4.3 Partielle Integration
7.4.4 Integration durch Partialbruchzerlegung

7.5 Berechnen bestimmter Integrale; Anwendungen
7.5.1 Integrationsregeln
7.5.2 Ermitteln von Flächeninhalten
7.5.3 Physikalische Probleme
7.5.4 Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern; Bogenlänge von Kurven

7.6 Uneigentliche Integrale und nicht elementar integrierbare Funktionen

7.7 Numerische Integration


8 Differenzen- und Differenzialgleichungen

8.1 Differenzengleichungen
8.1.1 Die Begriffe Differenzengleichung und Lösung einer Differenzengleichung
8.1.2 Lineare Differenzengleichungen 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten

8.2 Differenzialgleichungen
8.2.1 Arten von Differenzialgleichungen
8.2.2 Lösungsverhalten von Differenzialgleichungen
8.2.3 Lösungsverfahren für Differenzialgleichungen 1.Ordnung
8.2.4 Näherungsverfahren zur Lösung von Differenzialgleichungen 1.Ordnung
8.2.5 Lösen linearer homogener Differenzialgleichungen 2.Ordnung mit kostanten Koeffizienten


9 Komplexe Zahlen

9.1 Komplexe Zahlen als geordnete Paare reeller Zahlen

9.2 Algebraische Darstellung komplexer Zahlen

9.3 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen

9.4 Komplexe Zahlen in Exponentialform


10 Vektoren und Vektorräume

10.1 Zur Entwicklung der analytischen Geometrie

10.2 Vektoren; Gleichheit, Addition und Vervielfachung

10.3 Parallelität, Kollinearität und Komplanarität von Vektoren

10.4 Linearkombination von Vektoren; Basen in der Ebene und im Raum

10.5 Koordinatensysteme

10.6 Punkte, Strecken und Dreiecke in einem Koordinatensystem
10.6.1 Mittelpunkt M einer Strecke in der Ebene und im Raum
10.6.2 Schwerpunkt eines Dreiecks
10.6.3 Betrag eines Vektors; Länge einer Strecke
10.6.4 Flächeninhalt eines Dreiecks

10.7 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit
10.8 Skalarprodukt von Vektoren
10.8.1 Definition und Eigenschaften
10.8.2 Anwendungen des Skalarprodukts

10.9 Vektorprodukt und Spatprodukt von Vektoren
10.9.1 Vektorprodukt
10.9.2 Spatprodukt

10.10 Beweise unter Verwendung von Vektoren

10.11 Vektorräume
10.11.1 Der Begriff Vektorraum
10.11.2 Unterräume und Erzeugendensysteme
10.11.3 Basen und Dimension von Unterräumen


11 Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes

11.1 Geraden in der Ebene und im Raum
11.1.1 Punktrichtungsgleichung einer Geraden
11.1.2 Zweipunktegleichung einer Geraden
11.1.3 Normalform der Gleichung einer Geraden in der Ebene
11.1.4 Lagebeziehungen von Geraden
11.1.5 Orthogonalität und Schnittwinkel von Geraden der Ebene

11.2 Ebenen im Raum
11.2.1 Gleichung einer Ebene in Vektorform
11.2.2 Gleichung einer Ebene in Koordinatenschreibweise
11.2.3 Hessesche Normalform der Ebenengleichung
11.2.4 Spezielle Ebenen
11.2.5 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene
11.2.6 Lagebeziehungen von zwei Ebenen

11.3 Schnittwinkelberechnungen
11.3.1 Schnittwinkel zweier Geraden im Raum
11.3.2 Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
11.3.3 Schnittwinkel zweier Ebenen

11.4 Abstandsberechnungen
11.4.1 Abstand eines Punktes von einer Geraden in der Ebene und von einer Ebene im Raum
11.4.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden
11.4.3 Abstand von Geraden im Raum
11.4.4 Abstand von Ebenen

11.5 Kreise und Kugeln
11.5.1 Gleichungen von Kreis und Kugel
11.5.2 Kreis und Gerade
11.5.3 Lagebeziehungen von Kreisen
11.5.4 Lagebeziehungen von Kugeln, Geraden und Ebenen

11.6 Kegelschnitte
11.6.1 Schnittfiguren eines Kegels
11.6.2 Ellipse
11.6.3 Hyperbel
11.6.4 Parabel


12 Matrizen

12.1 Begriff Matrix

12.2 Rechnen mit Matrizen
12.2.1 Addition und skalare Vervielfachung von Matrizen
12.2.2 Multiplikation von Matrizen
12.2.3 Bilden der inversen Matrix

12.3 Rang einer Matrix; Hauptsatz über lineare Gleichungssysteme

12.4 Lineare Abbildungen


13 Wahrscheinlichkeitstheorie

13.1 Zufallsexperimente
13.1.1 Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen
13.1.2 Zufällige Ereignisse; Verknüpfen von Ereignissen
13.1.3 Absolute und relative Häufigkeiten; empirisches Gesetz der großen Zahlen
13.1.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung; Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
13.1.5 Vier- und Mehrfeldertafeln; Zerlegungen der Ergebnismenge

13.2 Gleichverteilung (Laplace-Experimente)
13.2.1 Der Begriff Gleichverteilung
13.2.2 Rechenregeln für die Gleichverteilung (Laplace-Regel)
13.2.3 Pfadregeln
13.2.4 Zählprinzip bei k-Tupeln
13.2.5 Zählprinzip bei n-elementigen Mengen
13.2.6 Urnenmodelle; Ziehen mit und ohne Zurücklegen; hypergeometrische Verteilung
13.2.7 Simulation mithilfe von Zufallszahlen

13.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
13.3.1 Der Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit
13.3.2 Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
13.3.3 Unabhängigkeit von Ereignissen

13.4 Zufallsgrößen
13.4.1 Endliche Zufallsgrößen
13.4.2 Erwartungswert
13.4.3 Streuung

13.5 Binomialverteilung
13.5.1 Bernoulli-Experimente
13.5.2 Bernoulli-Ketten; binomialverteilte Zufallsgrößen
13.5.3 Grafische Veranschaulichung der Binomialverteilung
13.5.4 Tabellierungen zur Binomialverteilung
13.5.5 Erwartungswert und Streuung binomialverteilter Zufallsgrößen
13.5.6 Grenzwertsatz von Moivre-Laplace zur Binomialverteilung
13.5.7 Normalverteilung
13.5.8 Zentraler Grenzwertsatz


14 Beschreibende und beurteilende Statistik

14.1 Beschreibende Statistik
14.1.1 Zu Anliegen und geschichtlicher Entwicklung der beschreibenden Statistik
14.1.2 Kenngrößen statistischer Erhebungen

14.2 Beurteilende Statistik
14.2.1 Zu Anliegen und geschichtlicher Entwicklung der beurteilende Statistik
14.2.2 Grundprobleme des Testens von Hypothesen
14.2.3 Alternativtests
14.2.4 Signifikanztests


15 Rechenhilfsmittel

15.1 Geschichtlicher Abriss

15.2 Elektronische Hilfsmittel
15.2.1 Grafikfähige Taschenrechner
15.2.2 Computeralgebrasysteme
15.2.3 Tabellenkalkulationen
15.2.4 Dynamische Geometriesoftware


Anhang

Kurze Einführung in das Computeralgebrasystem Mathcad

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