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Höhere Mathematik 2
Höhere Mathematik 2




Peter Vachenauer, Kurt Meyberg

Springer-Verlag
EAN: 9783540418511 (ISBN: 3-540-41851-2)
457 Seiten, kartoniert, 16 x 24cm, Mai, 2001

EUR 36,95
alle Angaben ohne Gewähr

Umschlagtext
Dieses Lehrbuch hat sich zum Standardwerk in der Ausbildung von Ingenieuren, Naturwissenschaftlern und Informatikern entwickelt. Hervorgegangen aus langjähriger Lehrtätigkeit der Autoren an der Technischen Universität in München, bietet es Studenten technischer Disziplinen eine gründliche Einführung in alle relevanten Themen. Es stellt konkrete und studentenfreundliche Rechenschemata zur Verfügung, die hervorragend zur Prüfungsvorbereitung geeignet sind. Ideal geeignet als Vorlesungsbegleiter, Repetitorium für Prüfungen und Nachschlagewerk in der Praxis.

"... Eine charakteristische Besonderheit dieses Lehrbuches sind die zahlreichen und äußerst vielseitigen Anwendungsbeispiele aus Physik, Chemie, Biologie und vor allem der Mechanik und Elektrotechnik, mit denen die eingeführten Begriffe und hergeleiteten Formeln regelmäßig illustriert werden..." GAMM Mittgn.






Rezension
Der zweite Teil des Lehrbuches ist die Ergänzung zur modernen Einführung in die Höhere Mathematik. Auch hier wird mit dem erforderlichen Formalismus und Umfang den Studierenden technischer Wissenschaften die mathematische Sachverhalte der ersten Semester erläutert. Solide Grundlage für dieses Buch ist die jahrelange Lehrtätigkeit der beiden Autoren an der Technischen Universität München.
Inhaltlich deckt sich der zweite Band mit den Vorlesungen des zweiten, dritten und vierten Semesters an einer TU. Mit Erklärungen, Anleitungen, Graphiken und Tabellen gespickt wird dieses Werk zum optisch ansprechenden Lehrbuch. Durch zahlreiche Abbildungen, Hervorhebungen besonders wichtiger Sachverhalte und eine im ganzen vorbildliche Textgestaltung wird das Verständnis außerdem sehr gefördert.
Die Begriffe und Definitionen werden verständlich hergeleitet und erläutert. Immer wieder schlagen die Autoren Brücken zu Anwendungen des Stoffes in der Praxis, sodass immer wieder auch der Nutzen des mathematischen Stoffes für den Alltag und die Technik hervortritt. Viele Beispiele geben Anleitung zum Lösen von möglichen Aufgaben. Einziges Manko ist das Fehlen der Lösungen zu den Aufgaben.


Eigenbetätigungen werden in Form von Quelltexten zu Programmen für einzelne Berechnungsmethoden aber auch durch die zahlreichen Übungsaufgaben am Ende jeden Kapitels motiviert.

Empfehlenswert für alle Studierenden der Ingenieurswissenschaften.

Abgestimmt auf „Springers Mathematische Formeln“ (ISBN: 978-3-540-67505-1)


Michael Kraus
Verlagsinfo
Hohe Stoffdichte durch Verbindung von straffer Darstellungsweise mit zahlreichen Erläuterungen
Leichter Zugriff auf Teilfragen und Begriffe durch Übersichtlichkeit und Sachregister
Ideal als Repetitorium durch besonders hervorgehobene zusammenfassende Überblicke und Rechenschemata
Kompakter, preiswerter Begleiter zur Grundvorlesung der höheren Mathematik Das Standardwerk für Ingenieure
Geschrieben für:
Studenten der Ingenieurwissenschaften und anderer technisch-physikalischer Disziplinen, Studenten und Dozenten der Mathematik
Schlagworte:
Differentialgleichungen
Fourier-Analysis
Funktionentheorie
Variationsrechnung
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 9. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
§1. Einf¨uhrung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1.1 Grundbegriffe – 1.2 Anfangswertprobleme – 1.3 Geometrische Bedeutung
der DGL 1. Ordnung
§2. Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10
2.1 Exakte Differentialgleichungen – 2.2 Trennbare Differentialgleichungen
– 2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung – 2.4 Der
integrierende Faktor – 2.5 Integration durch Substitution – 2.6 Integration
durch Differentiation – Aufgaben
§3. Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34
3.1 Lineare DGLn 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten –
3.2 Komplexifizierung und die komplexe Exponentialfunktion – 3.3 Ein
Fundamentalsystem f¨ur die homogene lineare DGL – 3.4 Die L¨osungen
der inhomogenen DGL– 3.5 Lineare mechanische Schwingungen – 3.6
Der RCL-Schwingkreis – 3.7 Die DGL vom Typ y
00 = f (x; y
0) – 3.8
Die DGL vom Typ y
00 = f (y; y
0) – Aufgaben
§4. Existenzs¨atze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50
4.1 Der Existenz-Satz von Peano – 4.2 Die L-Bedingung – 4.3 Approximation
durch Picard-Iteration – 4.4 Die stetige Abh¨angigkeit der
L¨osung von den Anfangswerten – 4.5 Die stetige Abh¨angigkeit der
L¨osung von der rechten Seite – Aufgaben
§5. Numerische L¨osung des Anfangswertproblems 1. Ordnung : : : : : : 57
5.1 Einschrittverfahren – 5.2 Fehlerabsch¨atzungen – 5.3 Schrittweitenkontrolle
– Aufgaben
§6. Die Laplace-Transformation: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64
6.1 Grundlagen – 6.2 Rechenregeln – 6.3 Anwendungen – 6.4 Die
Dirac-Deltafunktion – 6.5 L-Tabelle. Allgemeine Regeln und wichtige
Korrespondenzen – Aufgaben
§7. L¨osung mittels Potenzreihenansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
7.1 Der Potenzreihenansatz – 7.2 Der modifizierte Ansatz – 7.3 Die
Bessel-DGL– 7.4 Die Legendre-DGL – Aufgaben
§8. DGL-Systeme und DGLn h¨oherer Ordnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
8.1 Grunds¨atzliches, Beispiele – 8.2 Der EE-Satz – 8.3 Lineare DGLSysteme,
die Grundprinzipien – 8.4 Lineare DGLn n-ter Ordnung –
Aufgaben
VIII Inhaltsverzeichnis
§9. Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten : : : : : : : : : : : : : 110
9.1 Die Schur-Normalform und Hauptvektoren – 9.2 Die Matrix-
Exponentialfunktion – 9.3 Die allgemeine L¨osung, Fundamentalsysteme
– 9.4 L¨osungsbasis mit Eigen- und Hauptvektoren – 9.5 Der Fall
n = 2 – 9.6 Das inhomogene lineare DGL-System – 9.7 Die Eliminationsmethode
– 9.8 Die homogene lineare DGl n-ter Ordnung –
9.9 Die inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung – Aufgaben
§10.Stabilit¨at, periodische L¨osungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133
10.1 Autonome Systeme – 10.2 Ebene autonome Systeme, die Phasen-
DGL – 10.3 Stabilit¨at – 10.4 Ausblick: Periodische L¨osungen ebener
autonomer Systeme – Aufgaben
§11.Rand- und Eigenwertprobleme: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159
11.1 Einf¨uhrung – 11.2 Das lineare RWP f¨ur DGL-Systeme – 11.3 Das
lineare RWP f¨ur DGLn n-ter Ordnung – 11.4 Eigenwertprobleme (an
Beispielen) – 11.5 Das Sturm-Liouville-EWP – 11.6 Singul¨are RWP
und EWP – Aufgaben
Kapitel 10. Funktionentheorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178
§1. Punktmengen in der komplexen Ebene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178
1.1 Die komplexe Ebene – 1.2 Gebiete – 1.3 Randpunkte, H¨aufungspunkte
– 1.4 Zahlenfolgen – 1.5 Die Zahlenkugel; der Punkt 1 –
Aufgaben
§2. Einige elementare Funktionen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184
2.1 Funktionen, Abbildungen – 2.2 Grenzwerte, Stetigkeit – 2.3 Die
komplexe Exponentialfunktion – 2.4 Der komplexe Logarithmus –
2.5 Allgemeine Potenzen – 2.6 Die trigonometrischen Funktionen –
2.7 Die hyperbolischen Funktionen – 2.8 Die Quadratwurzel w =
p
z –
2.9 n-te Wurzeln – Aufgaben
§3. Gebrochen-lineare Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 197
3.1 Die gebrochen-linearen Funktionen oder M¨obius-Transformationen
– 3.2 Kreis-, Winkel- und Orientierungstreue – 3.3 Die 6-Punkte-
Formel – 3.4 Symmetrische Punkte – Aufgaben
§4. Potenzreihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 207
4.1 Unendliche Reihen – 4.2 Potenzreihen – 4.3 Gleichm¨aßige Konvergenz
– Aufgaben
§5. Differentiation, analytische Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 211
5.1 Definition und Rechenregeln – 5.2 Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
– 5.3 Die geometrische Deutung der Ableitung –
5.4 Die physikalische Deutung der Ableitung: Das komplexe Potential
– Aufgaben
Inhaltsverzeichnis IX
§6. Integration : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 222
6.1 Grundlagen – 6.2 Rechenregeln – 6.3 Der Cauchy-Integralsatz –
6.4 Die Cauchy-Integralformel – 6.5 Vorgabe von Funktionswerten –
Aufgaben
§7. Anwendungen der Cauchy-Integralformel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 234
7.1 Vorbereitung: Der Trick mit der geometrischen Reihe – 7.2 Die
Taylor-Reihe einer analytischen Funktion – 7.3 Der Fundamentalsatz
der Algebra – 7.4 Die Mittelwerteigenschaft analytischer Funktionen –
7.5 Das Maximumprinzip – Aufgaben
§8. Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem : : : : : : : : : : : : 242
8.1 Harmonische Funktionen – 8.2 Die praktische Bestimmung eines
komplexen Potentials zu vorgegebener Potentialfunktion – 8.3 Die
Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen – 8.4 Das Maximumprinzip
f¨ur harmonische Funktionen – 8.5 Das Dirichlet-Problem –
8.6 L¨osung des Dirichlet-Problems in beliebigen Gebieten – Aufgaben
§9. Laurent-Reihen und Singularit¨aten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 253
9.1 Die Laurent-Entwicklung – 9.2 Methoden der Laurent-Entwicklung
– 9.3 Isolierte Singularit¨aten – 9.4 Hebbare Singularit¨aten – 9.5 Polstellen
– 9.6 Wesentliche Singularit¨aten – 9.7 Anwendung auf Potentialstr
¨omungen – 9.8 Die z-Transformation – Aufgaben
§10.Residuentheorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 269
10.1 Der Residuensatz – 10.2 Methoden der Residuenberechnung –
10.3 Beispiele zum Residuensatz – 10.4 Berechnung reeller Integrale
mit dem Residuensatz – 10.5 Das Null- und Polstellen z¨ahlende Integral
– Aufgaben
Kapitel 11. Fourier-Analysis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 285
§1. Trigonometrische Polynome und Reihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 286
1.1 Periodische Funktionen – 1.2 Trigonometrische Polynome – 1.3
Trigonometrische Reihen – 1.4 Das Fundamentalbeispiel – 1.5 Aus dem
Fundamentalbeispiel abgeleitete Reihen – Aufgaben
§2. Fourier-Reihen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 296
2.1 Die Fourier-Reihe einer Funktion – 2.2 Rechenregeln –
2.3 Die Bessel-Ungleichung – 2.4 Methoden der Fourier-Entwicklung –
Aufgaben
§3. Konvergenz der Fourier-Reihe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 314
3.1 Vollst¨andigkeit und Eindeutigkeit – 3.2 Der Darstellungssatz –
3.3 Konvergenz im quadratischen Mittel – 3.4 F-Tabelle. Elementare
Fourier-Reihen – Aufgaben
X Inhaltsverzeichnis
§4. Anwendungen (an Beispielen) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 320
4.1 Periodische L¨osungen linearer DGLn mit konstanten Koeffizienten
– 4.2 L¨osung partieller DGLn durch Trennung der Variablen –
4.3 N¨aherungsformeln, Approximation – 4.4 Harmonische Balance –
4.5 Aufl¨osung trigonometrischer Gleichungen – Aufgaben
§5. Diskrete Fourier-Analysis: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 326
5.1 Endliche diskrete Fourier-Transformation (DFT) – 5.2 Schnelle
Fourier-Transformation (FFT) – 5.3 Anwendungen – Aufgaben
§6. Die Fourier-Transformation :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 337
6.1 Grundlagen – 6.2 Rechenregeln – 6.3 Die Konvergenz und Eindeutigkeit
der Fourier-Transformation – 6.4 Anwendungen – Aufgaben
Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 358
§1. Einf¨uhrung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 358
1.1 Grundbegriffe – 1.2 Beispiele – 1.3 Die lineare PDG 1. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten – 1.4 Die eindimensionale Wellengleichung
– 1.5 Nebenbedingungen – Aufgaben
§2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 364
2.1 Erg¨anzungen zu autonomen DGL-Systemen: Erste Integrale –
2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung – 2.3 Quasilineare
Differentialgleichungen 1. Ordnung – Aufgaben
§3. Lineare und quasilineare PDGn 2. Ordnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 375
3.1 Klassifikation – 3.2 Die Reduktion auf Normalform – Aufgaben
§4. Trennung der Variablen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 380
4.1 Spezielle Ans¨atze – 4.2 Die additive Trennung – 4.3 Die Trennung
der Variablen – 4.4 W¨armeleitung – 4.5 Die schwingende Saite –
4.6 Das Dirichlet-Problem – 4.7 Die schwingende Kreismembran –
4.8 Fourier-Integral statt Fourier-Reihe – Aufgaben
§5 L¨osungen mit Laplace- und Fourier-Transformation : : : : : : : : : : : : 396
§6. L¨osungen mit Green-Funktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 398
6.1 Die Delta-Funktion – 6.2 Die Deutung von Integralkernen mit 
– 6.3 Die L¨osungsmethode mit Green-Funktionen – 6.4 W¨armeleitung
im beidseitig unbegrenzten Stab – 6.5 Die Wellengleichung – 6.6 Die
Poisson-Gleichung in der Ebene – 6.7 Ausblick
Kapitel 13. Variationsrechnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 405
§1. Funktionale und die Gˆateaux-Variation: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 406
1.1 Funktionale – 1.2 Die Gˆateaux-Variation
Inhaltsverzeichnis XI
§2. Die Euler-Differentialgleichung f ¨ur I (y) = R b
a F(x; y; y
0) dx : : : : : : : : 409
2.1 Vorbereitung – 2.2 Die Euler-Lagrange-Differentialgleichung –
2.3 Sonderf¨alle – Aufgaben
§3. Nat¨ urliche Randbedingungen, Transversalit¨atsbedingung :: : : : : : : 418
3.1 Die nat¨urliche Randbedingung – 3.2 Die Transversalit¨atsbedingung
– 3.3 Modifizierte Randbedingungen – Aufgaben
§4. Variationsaufgaben mit allgemeineren Funktionalen : : : : : : : : : : : : : 423
4.1 Der Integrand enth¨alt h¨ohere Ableitungen – 4.2 Extremalkurven im
Rn – Aufgaben
§5. Variation mit Nebenbedingungen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 427
5.1 Allgemeines – 5.2 Isoperimetrische Probleme – 5.3 Nebenbedingungen
in Gleichungsform – Aufgaben
§6. Variationsrechnung mit Funktionen in mehreren Variablen: : : : : : 432
6.1 In der Ebene – 6.2 Im Raum – Aufgaben
§7. Das Wechselspiel Variationsaufgaben – Differentialgleichungen : 435
7.1 Allgemeines – 7.2 Gew¨ohnliche Differentialgleichungen – 7.3 Partielle
Differentialgleichungen – Aufgaben
§8. Direkte Methoden: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 439
8.1 Die Ritz-Methode – 8.2 Die Galerkin-Methode – Aufgaben
Literaturverzeichnis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 444
Namen- und Sachverzeichnis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 447
Verzeichnis der Programme
1. Programm Runge-Kutta :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62
Numerische L¨osung des Anfangswertproblems y
0 = f (x; y) , y(x0) = y0
2. Programm Routh-Hurwitz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 149
Stabilit¨atstest f¨ur Polynome (alle Nullstellen in der linken Halbebene)
3. Programm Fast-Fourier-Transform:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 332
Schnelle Fourier-