Kapitel 9. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
§1. Einf¨uhrung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1.1 Grundbegriffe – 1.2 Anfangswertprobleme – 1.3 Geometrische Bedeutung
der DGL 1. Ordnung
§2. Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10
2.1 Exakte Differentialgleichungen – 2.2 Trennbare Differentialgleichungen
– 2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung – 2.4 Der
integrierende Faktor – 2.5 Integration durch Substitution – 2.6 Integration
durch Differentiation – Aufgaben
§3. Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34
3.1 Lineare DGLn 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten –
3.2 Komplexifizierung und die komplexe Exponentialfunktion – 3.3 Ein
Fundamentalsystem f¨ur die homogene lineare DGL – 3.4 Die L¨osungen
der inhomogenen DGL– 3.5 Lineare mechanische Schwingungen – 3.6
Der RCL-Schwingkreis – 3.7 Die DGL vom Typ y
00 = f (x; y
0) – 3.8
Die DGL vom Typ y
00 = f (y; y
0) – Aufgaben
§4. Existenzs¨atze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50
4.1 Der Existenz-Satz von Peano – 4.2 Die L-Bedingung – 4.3 Approximation
durch Picard-Iteration – 4.4 Die stetige Abh¨angigkeit der
L¨osung von den Anfangswerten – 4.5 Die stetige Abh¨angigkeit der
L¨osung von der rechten Seite – Aufgaben
§5. Numerische L¨osung des Anfangswertproblems 1. Ordnung : : : : : : 57
5.1 Einschrittverfahren – 5.2 Fehlerabsch¨atzungen – 5.3 Schrittweitenkontrolle
– Aufgaben
§6. Die Laplace-Transformation: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64
6.1 Grundlagen – 6.2 Rechenregeln – 6.3 Anwendungen – 6.4 Die
Dirac-Deltafunktion – 6.5 L-Tabelle. Allgemeine Regeln und wichtige
Korrespondenzen – Aufgaben
§7. L¨osung mittels Potenzreihenansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
7.1 Der Potenzreihenansatz – 7.2 Der modifizierte Ansatz – 7.3 Die
Bessel-DGL– 7.4 Die Legendre-DGL – Aufgaben
§8. DGL-Systeme und DGLn h¨oherer Ordnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
8.1 Grunds¨atzliches, Beispiele – 8.2 Der EE-Satz – 8.3 Lineare DGLSysteme,
die Grundprinzipien – 8.4 Lineare DGLn n-ter Ordnung –
Aufgaben
VIII Inhaltsverzeichnis
§9. Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten : : : : : : : : : : : : : 110
9.1 Die Schur-Normalform und Hauptvektoren – 9.2 Die Matrix-
Exponentialfunktion – 9.3 Die allgemeine L¨osung, Fundamentalsysteme
– 9.4 L¨osungsbasis mit Eigen- und Hauptvektoren – 9.5 Der Fall
n = 2 – 9.6 Das inhomogene lineare DGL-System – 9.7 Die Eliminationsmethode
– 9.8 Die homogene lineare DGl n-ter Ordnung –
9.9 Die inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung – Aufgaben
§10.Stabilit¨at, periodische L¨osungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133
10.1 Autonome Systeme – 10.2 Ebene autonome Systeme, die Phasen-
DGL – 10.3 Stabilit¨at – 10.4 Ausblick: Periodische L¨osungen ebener
autonomer Systeme – Aufgaben
§11.Rand- und Eigenwertprobleme: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159
11.1 Einf¨uhrung – 11.2 Das lineare RWP f¨ur DGL-Systeme – 11.3 Das
lineare RWP f¨ur DGLn n-ter Ordnung – 11.4 Eigenwertprobleme (an
Beispielen) – 11.5 Das Sturm-Liouville-EWP – 11.6 Singul¨are RWP
und EWP – Aufgaben
Kapitel 10. Funktionentheorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178
§1. Punktmengen in der komplexen Ebene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178
1.1 Die komplexe Ebene – 1.2 Gebiete – 1.3 Randpunkte, H¨aufungspunkte
– 1.4 Zahlenfolgen – 1.5 Die Zahlenkugel; der Punkt 1 –
Aufgaben
§2. Einige elementare Funktionen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184
2.1 Funktionen, Abbildungen – 2.2 Grenzwerte, Stetigkeit – 2.3 Die
komplexe Exponentialfunktion – 2.4 Der komplexe Logarithmus –
2.5 Allgemeine Potenzen – 2.6 Die trigonometrischen Funktionen –
2.7 Die hyperbolischen Funktionen – 2.8 Die Quadratwurzel w =
p
z –
2.9 n-te Wurzeln – Aufgaben
§3. Gebrochen-lineare Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 197
3.1 Die gebrochen-linearen Funktionen oder M¨obius-Transformationen
– 3.2 Kreis-, Winkel- und Orientierungstreue – 3.3 Die 6-Punkte-
Formel – 3.4 Symmetrische Punkte – Aufgaben
§4. Potenzreihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 207
4.1 Unendliche Reihen – 4.2 Potenzreihen – 4.3 Gleichm¨aßige Konvergenz
– Aufgaben
§5. Differentiation, analytische Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 211
5.1 Definition und Rechenregeln – 5.2 Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
– 5.3 Die geometrische Deutung der Ableitung –
5.4 Die physikalische Deutung der Ableitung: Das komplexe Potential
– Aufgaben
Inhaltsverzeichnis IX
§6. Integration : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 222
6.1 Grundlagen – 6.2 Rechenregeln – 6.3 Der Cauchy-Integralsatz –
6.4 Die Cauchy-Integralformel – 6.5 Vorgabe von Funktionswerten –
Aufgaben
§7. Anwendungen der Cauchy-Integralformel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 234
7.1 Vorbereitung: Der Trick mit der geometrischen Reihe – 7.2 Die
Taylor-Reihe einer analytischen Funktion – 7.3 Der Fundamentalsatz
der Algebra – 7.4 Die Mittelwerteigenschaft analytischer Funktionen –
7.5 Das Maximumprinzip – Aufgaben
§8. Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem : : : : : : : : : : : : 242
8.1 Harmonische Funktionen – 8.2 Die praktische Bestimmung eines
komplexen Potentials zu vorgegebener Potentialfunktion – 8.3 Die
Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen – 8.4 Das Maximumprinzip
f¨ur harmonische Funktionen – 8.5 Das Dirichlet-Problem –
8.6 L¨osung des Dirichlet-Problems in beliebigen Gebieten – Aufgaben
§9. Laurent-Reihen und Singularit¨aten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 253
9.1 Die Laurent-Entwicklung – 9.2 Methoden der Laurent-Entwicklung
– 9.3 Isolierte Singularit¨aten – 9.4 Hebbare Singularit¨aten – 9.5 Polstellen
– 9.6 Wesentliche Singularit¨aten – 9.7 Anwendung auf Potentialstr
¨omungen – 9.8 Die z-Transformation – Aufgaben
§10.Residuentheorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 269
10.1 Der Residuensatz – 10.2 Methoden der Residuenberechnung –
10.3 Beispiele zum Residuensatz – 10.4 Berechnung reeller Integrale
mit dem Residuensatz – 10.5 Das Null- und Polstellen z¨ahlende Integral
– Aufgaben
Kapitel 11. Fourier-Analysis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 285
§1. Trigonometrische Polynome und Reihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 286
1.1 Periodische Funktionen – 1.2 Trigonometrische Polynome – 1.3
Trigonometrische Reihen – 1.4 Das Fundamentalbeispiel – 1.5 Aus dem
Fundamentalbeispiel abgeleitete Reihen – Aufgaben
§2. Fourier-Reihen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 296
2.1 Die Fourier-Reihe einer Funktion – 2.2 Rechenregeln –
2.3 Die Bessel-Ungleichung – 2.4 Methoden der Fourier-Entwicklung –
Aufgaben
§3. Konvergenz der Fourier-Reihe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 314
3.1 Vollst¨andigkeit und Eindeutigkeit – 3.2 Der Darstellungssatz –
3.3 Konvergenz im quadratischen Mittel – 3.4 F-Tabelle. Elementare
Fourier-Reihen – Aufgaben
X Inhaltsverzeichnis
§4. Anwendungen (an Beispielen) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 320
4.1 Periodische L¨osungen linearer DGLn mit konstanten Koeffizienten
– 4.2 L¨osung partieller DGLn durch Trennung der Variablen –
4.3 N¨aherungsformeln, Approximation – 4.4 Harmonische Balance –
4.5 Aufl¨osung trigonometrischer Gleichungen – Aufgaben
§5. Diskrete Fourier-Analysis: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 326
5.1 Endliche diskrete Fourier-Transformation (DFT) – 5.2 Schnelle
Fourier-Transformation (FFT) – 5.3 Anwendungen – Aufgaben
§6. Die Fourier-Transformation :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 337
6.1 Grundlagen – 6.2 Rechenregeln – 6.3 Die Konvergenz und Eindeutigkeit
der Fourier-Transformation – 6.4 Anwendungen – Aufgaben
Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 358
§1. Einf¨uhrung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 358
1.1 Grundbegriffe – 1.2 Beispiele – 1.3 Die lineare PDG 1. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten – 1.4 Die eindimensionale Wellengleichung
– 1.5 Nebenbedingungen – Aufgaben
§2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 364
2.1 Erg¨anzungen zu autonomen DGL-Systemen: Erste Integrale –
2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung – 2.3 Quasilineare
Differentialgleichungen 1. Ordnung – Aufgaben
§3. Lineare und quasilineare PDGn 2. Ordnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 375
3.1 Klassifikation – 3.2 Die Reduktion auf Normalform – Aufgaben
§4. Trennung der Variablen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 380
4.1 Spezielle Ans¨atze – 4.2 Die additive Trennung – 4.3 Die Trennung
der Variablen – 4.4 W¨armeleitung – 4.5 Die schwingende Saite –
4.6 Das Dirichlet-Problem – 4.7 Die schwingende Kreismembran –
4.8 Fourier-Integral statt Fourier-Reihe – Aufgaben
§5 L¨osungen mit Laplace- und Fourier-Transformation : : : : : : : : : : : : 396
§6. L¨osungen mit Green-Funktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 398
6.1 Die Delta-Funktion – 6.2 Die Deutung von Integralkernen mit 
– 6.3 Die L¨osungsmethode mit Green-Funktionen – 6.4 W¨armeleitung
im beidseitig unbegrenzten Stab – 6.5 Die Wellengleichung – 6.6 Die
Poisson-Gleichung in der Ebene – 6.7 Ausblick
Kapitel 13. Variationsrechnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 405
§1. Funktionale und die Gˆateaux-Variation: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 406
1.1 Funktionale – 1.2 Die Gˆateaux-Variation
Inhaltsverzeichnis XI
§2. Die Euler-Differentialgleichung f ¨ur I (y) = R b
a F(x; y; y
0) dx : : : : : : : : 409
2.1 Vorbereitung – 2.2 Die Euler-Lagrange-Differentialgleichung –
2.3 Sonderf¨alle – Aufgaben
§3. Nat¨ urliche Randbedingungen, Transversalit¨atsbedingung :: : : : : : : 418
3.1 Die nat¨urliche Randbedingung – 3.2 Die Transversalit¨atsbedingung
– 3.3 Modifizierte Randbedingungen – Aufgaben
§4. Variationsaufgaben mit allgemeineren Funktionalen : : : : : : : : : : : : : 423
4.1 Der Integrand enth¨alt h¨ohere Ableitungen – 4.2 Extremalkurven im
Rn – Aufgaben
§5. Variation mit Nebenbedingungen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 427
5.1 Allgemeines – 5.2 Isoperimetrische Probleme – 5.3 Nebenbedingungen
in Gleichungsform – Aufgaben
§6. Variationsrechnung mit Funktionen in mehreren Variablen: : : : : : 432
6.1 In der Ebene – 6.2 Im Raum – Aufgaben
§7. Das Wechselspiel Variationsaufgaben – Differentialgleichungen : 435
7.1 Allgemeines – 7.2 Gew¨ohnliche Differentialgleichungen – 7.3 Partielle
Differentialgleichungen – Aufgaben
§8. Direkte Methoden: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 439
8.1 Die Ritz-Methode – 8.2 Die Galerkin-Methode – Aufgaben
Literaturverzeichnis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 444
Namen- und Sachverzeichnis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 447
Verzeichnis der Programme
1. Programm Runge-Kutta :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62
Numerische L¨osung des Anfangswertproblems y
0 = f (x; y) , y(x0) = y0
2. Programm Routh-Hurwitz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 149
Stabilit¨atstest f¨ur Polynome (alle Nullstellen in der linken Halbebene)
3. Programm Fast-Fourier-Transform:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 332
Schnelle Fourier-