Vorwort 3


Mathematische Zeichen 7


Grundlegende Begriffe aus Logik und Mathematik

Elemente der Logik 10
Die Konjunktion 10
Die Disjunktion 11
Die Negation 11
Die Implikation 12
Die Äquivalenz 12
Einige Lehrsätze der Aussagenlogik 12
Aus einem falschen Satz kann man jeden Satz ableiten 14
Das exklusive "oder" 14
Quantoren 15
Allquantor 15
Existenzquantor 15

Eine Zusammenstellung von Grundbe-griffen der mathematischen Fachsprache 16
Zeichen 16
Ausdruck, Definition 16
Terme 16
Aussagen - Sätze - Axiome 16
Aussageformen 17
Lehrsätze 17
Beweise 17

Vollständige Induktion 17
Ein Beweis mit vollständiger Induktion 18
Schema für einen Induktionsbeweis 18


Mengenlehre

Mengen in der Alltagssprache 20

Der Aufbau der Mengenlehre 21
Die Elementbeziehung 21
Die Gleichheit von Mengen 21
Mengenklammer - Mengen von Mengen 21
Gewinnung neuer Mengen durch Aus-sonderung 22
Die leere Menge 22
Unter- und Obermengen 22
Potenzmengen 22
Die Vereinigungsmenge 23
Die Schnittmenge 23
Allmenge und Komplementmenge 23
Differenz von Mengen 24
Lehrsätze der Mengenlehre 25

Die Mächtigkeit von Mengen - unendliche Mengen 25
Die Mächtigkeit der Menge der rationalen Zahlen Q 27
Die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen R 27
Abschließende Bemerkungen zu den
Mächtigkeiten von Mengen 28

Antinomien der Mengenlehre 28


Analysis

Folgen 30
Einordnung 30
Definitionen und Darstellungen von Folgen 31
Beispiele für Folgen und ihre Graphen 31
Arithmetische Folgen 32
Geometrische Folgen 33
Zusammenstellung von Eigenschaften von Folgen 33
Monotonie 33
Beschränktheit 34

Der Grenzwert einer Folge 35
Verfahren zur Grenzwertuntersuchung einer Folge 36
Nullfolgen 38
Grenzwertsätze für Folgen 38
Einige besondere Grenzwerte 39
Reihen 40
Arithmetische Reihen 41
Geometrische Reihen 41

Grenzwerte bei Funktionen 42
Einseitige Grenzwerte 43
Schema zur Grenzwertuntersuchung 44
Beispiele zur Grenzwertuntersuchung 44
Stetigkeit 46
Polstellen einer Funktion 46
Zusammenstellung der Grenzwertfälle 47
Grenzwertsätze für Funktionen 47
Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen 47
Asymptoten 48
Unbestimmte Ausdrücke - die Regel von l'Hospital 48
Andere Formen von unbestimmten Ausdrücken 49

Differenzialrechnung 49
Das Tangentenproblem 50
Beispiele für Ableitungen 51
Die Ableitungsfunktion - höhere Ableitungen 52
Beispiel für den Zusammenhang verschiedener Ableitungsfunktionen 52
Ableitungsregeln 52
Ableitungen spezieller Funktionen 54
Differenziale 54
Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 55
Der Satz von Rolle 56

Funktionsuntersuchungen mit Hilfe der Differenzialrechnung 56
Extremwerte von Funktionen 56
Zusammenstellung für Extremwertuntersuchungen 57
Krümmung und Wendestellen von Funktionen 59
Funktionssynthese (Kurvensynthese) 60
Extremalprobleme mit Nebenbedingungen 61

Integralrechnung 63
Das bestimmte Integral 63
Ober- und Untersummen 63
Verbesserung der Näherungen 64
Der Flächeninhalt als Grenzwert 65
Bestimmung des Flächeninhalts im Beispiel 65
Definition des bestimmten Integrals 65
Eigenschaften des bestimmten Integrals 66
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung 66
Die Integration als Umkehrung der Differenziation - der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 67
Das unbestimmte Integral 68
Grundintegrale 68
Partielle Integration 69
Beispiele zum Integrieren 69
Uneigentliche Integrale 70
Inhalte ebener Flächen 71
Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen 73
Das Volumen von Rotationskörpern 74
Funktionssynthese mit Integralneben-bedingungen 75

Gleichungen und Darstellungen von Relationen 77
Relationen und kartesische Koordinaten 78
Parameterdarstellung von Relationen 78
Relationen und Polarkoordinaten 79


Numerische Näherungsverfahren für Funktionen

Einordnung 81

Interpolationsfunktionen 82
Lineare Interpolation 83
Spline-Interpolation 83

Ausgleichsfunktionen 86
Ausgleich durch eine Geradenfunktion 86
Ausgleich durch eine Parabelfunktion 87

Taylorpolynome 88
Entwicklung eines Polynoms an einer Stelle x0 89
Approximation eines Funktionsterms durch ein Taylorpolynom 90
Taylorformel 90
MacLaurin-Formel 90
Das Taylorpolynom für e hoch x 90
Taylorpolynome für sin(x) und cos(x) 91


Vektoren

Einordnung 93

Definition eines Vektorraumes über R 94
Die Menge der Vektoren 94
Die innere Verknüpfung 94
Die äußere Verknüpfung 94
Der Vektorraum der Verschiebungen in der Ebene 95
Der Vektorraum der Polynomfunktionen von höchstens zweitem Grad 96
Der arithmetische Vektorraum Rn 97
Linearkombinationen 97
Erzeugendensystem eines Vektorraumes 97
Lineare Abhängigkeit 98
Basis und Dimension eines Vektorraumes 99
Austauschsatz von Steinitz 99
Koordinaten eines Vektors 100

Vektorgeometrie 101
Erste geometrische Anwendungen der Vektorrechnung 101

Der affine Punktraum 103
Ortsvektoren 103
Koordinaten 104
Geraden im Raum 104
Lagebeziehungen zwischen Geraden im Raum 106
Erster Fall: Identische Geraden 106
Zweiter Fall: Parallele Geraden 107
Dritter Fall: Schneidende Geraden 107
Vierter Fall: Windschiefe Geraden 108
Geraden in der Ebene 108
Ebenen 108
Vektorgleichungen von Ebenen 108
Typische Ebenenprobleme 109
Lagebeziehungen zwischen Ebenen 109
Identische Ebenen 110
Parallele Ebenen 110
Schneidende Ebenen 111
Koordinatendarstellung von Geraden und Ebenen 111
Eine Ebene in Koordinatendarstellung 111
Geraden in Koordinatendarstellung 112
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 113
Projektionen einer Geraden in die Koordinatenebenen 114

Der euklidische Raum 114
Definition des inneren Produkts für zweidimensionale Räume 115
Definition des inneren Produkts für n-dimensionale Räume 116
Definition von Abstand und Winkelgröße 116
Das Vektorprodukt 118
Das Spatprodukt 118
Die Normalenformen von Ebenen und Geraden 119
Abstand eines Punktes von einer Ebene 119
Beispiel zur Hesseform einer Ebenengleichung 120
Die Hesseform der Geradengleichung 120
Winkel zwischen Geraden und Ebenen 121
Winkel zwischen Ebenen 121
Kreise und Kugeln 122


Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Matrizen als Abbildungen 124
(m,n)-Matrizen 126
Matrizen als lineare Abbildungen 126

Matrizenalgebra 127
Die Addition von Matrizen 127
Die Multiplikation einer Matrix
mit einer Zahl 127
Die Multiplikation von Matrizen 127
Die Einheitsmatrix 128
Die inverse Matrix 129

Lineare Gleichungssysteme (LGS) 131
Der Gauß-Algorithmus 131
Die Lösungsfälle eines LGS 132
Das Lösen von inhomogenen LGS mit der inversen Matrix 134
Das Lösen von inhomogenen LGS mit Determinanten 135
Entwicklungssatz für Determinanten 135


Stochastik

Kombinatorik 137
Permutationen ohne Wiederholung 138
Die Fakultät von n- n 139
Permutationen mit identifizierten Elementen 139
Kombinationen 139
Binomialkoeffizient 140
Variationen ohne Wiederholung 140
Variationen mit Wiederholung 141
Einige Aufgaben zur Kombinatorik 141

Das Anwendungsproblem der Stochastik 142
Binomial- oder Bernoulliverteilung 142
Verteilung der relativen Häufigkeit 142
Das Empirische Gesetz der Großen Zahlen 143
Die Streuungsungleichung 143
Das Bernoulli'sche Gesetz der Großen
Zahlen 144
Anwendungsaufgaben zur Streuungsungleichung 144
Die Formel von Bayes 145
Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit 146
Der Satz von Bayes 146

Zufallsvariablen 147
Stetige Zufallsvariablen 148
Mittelwert und Streuung für stetige
Zufallsvariablen 150
Standardisierung von Zufallsvariablen 150
Beispiele für stetige Verteilungen 151
Die stetige Gleichverteilung in [a,b] 151
Die Exponentialverteilung 151
Die Normal- oder Gaußverteilung 151
Lösung eines Problems mit der standardisierten Normalverteilung 152
Sigma-lntervalle für Normalverteilungen 153

Grenzwertsätze für die Normalverteilung 153
Der Satz von Moivre-Laplace 153
Der zentrale Grenzwertsatz 154
Zur Bedeutung des zentralen
Grenzwertsatzes 155

Das Schätzproblem in der Statistik 155
Schätzung des Parameters p in einer
Bernoulliverteilung 155
Punktschätzung für p 156
Erstes Konfidenzintervall für p 156
Verbessertes Konfidenzintervall für p 156
Konfidenzintervall für das arithmetische Mittel 157


Anhang

Beispiele zur Benutzung der Tabelle 159
Tabellierte Funktionswerte zur standardi-sierten Normalverteilung 160
Register 161