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Umschlagtext
Im vorliegenden Buch werden in speziellen Kapiteln der Analysis, Algebra und Geometrie aufgrund ihrer besonderen Faszination ausgesuchte Schauplätze der Mathematik unter neuen Blickwinkeln betrachtet, um dadurch sowohl Schülern der Sekundarstufe II bzw. Studenten der Mathematik als auch Lehrenden an Schulen und Universitäten sowie generell an unterschiedlichsten mathematischen Themen Interessierten eine Erweiterung ihres Horizonts zu ermöglichen.
In der Analysis beschäftigt uns in Gestalt der Gammafunktion (in deren faszinierende Welt wir ein gehöriges Stück weit eintauchen werden) eine Verallgemeinerung der Fakultät, ferner die Ermittlung höherdimensionaler Kugelhypervolumina, überdies (im Zusammenhang mit der Big bang theory) sogenannte FEYNMAN-Parameter sowie nebst einiger anderer goodies die gebrochen-linearen Transformationen. Der Algebra widmen wir uns (kurz) im Zuge der Matrix- und Vektoralgebra sowie (ausführlicher) im Zusammenhang mit der tiefgehenden Untersuchung orientierter Volumina mittels Spatprodukt und orthogonalen Matrizen. Neben einigen anderen isolierten (aber dennoch faszinierenden) Themen tauchen wir ferner allgemein in Beweismethoden (mit speziell algebraischem touch) ein. Sehr viel Raum wird der Geometrie (u.a. mit 24 neuen Beweisen des Lehrsatzes von PYTHAGORAS) eingeräumt, wo wir uns nebst fraktaler Geometrie (und damit in Zusammenhang stehend auch Differenzengleichungen sowie der FIBONACCI-Folge) ebenso mit der Dreiecksgeometrie, dem spannenden Problem der SODDY-Kreise, den überaus ästhetischen BEZIER-Kurven, den nie an Faszination einbüßenden Kegelschnitten, der Traktrix und der durch sie generierten Pseudosphäre sowie nebst einigen weiteren Themen schließlich auch noch mit dem zu einigen überraschenden Einsichten führenden einschaligen Drehhyperboloid auseinandersetzen, welches in exemplarischer Weise äußerst ungewöhnliche Phänomene der per se immer wieder für verblüffende (und nicht selten auch durchaus kontraintuitive) Resultate guten Raumgeometrie zutage fördert (bzw. wir eigentlich erst Kraft unseres Verstandes dazu in der Lage sind, diese Phänomene zu erkennen). Rezension
Die Klammer im Titel legt es nahe: Sowohl die "Mathematik von A bis Z" wird thematisiert, als auch kommen "Mathematiker von A bis Z" zur Sprache. Hier ist es Resel tatsächlich gelungen, sämtliche Buchstaben des Alphabets mit den Namen von Mathematikern aus allen Epochen zu füllen.
Das Inhaltsverzeichnis zeigt, dass vor allem Phänomene aus den Gebieten Analysis, Algebra und Geometrie behandelt werden. Die mathematische Reise durch das Alphabet beginnt bei der Gamma-Funktion, führt über verschiedene Optimierungsproblem (Standardthema in Leistungskursen!), der Cramerschen Regel und verschiedenen Beweisverfahren zu Bézier-Kurven, dem pythagoreischen Lehrsatz und einigen „Augensternen der Geometrie“ (S. 242-270). Resel gibt anhand ausführlicher Rechenbeispiele und Herleitungen einen profunden Einblick in die mathematische Denkweise, wobei er zum Teil auf frühere Publikationen rekurriert, aber die mathematischen Fähigkeiten und Kenntnisse der Zielgruppe stets gut im Blick hat. Manche Rechenschritte sind zum eigenen Nachvollzug mit Bleistift und Papier bewusst offengelassen. Auf diese Weise sowie anhand zahlreicher Übungsaufgaben zu den vorgestellten Gebieten erhält der Leser (gleichzeitig graphisch elegant immer als "Löser" angesprochen) die Möglichkeit, sein neu erworbenes Wissen einzuüben und zu festigen. Vielleicht wären Lösungsangebote auf der Homepage des Verlags eine willkommene Ergänzung, wobei es zu einigen Aufgaben im Buch Lösungen gibt. Dieses Buch ist eine wahre Fundgrube: Beeindruckend, welche Verbindungslinien zwischen entlegenen Gebieten wie z.B. unendlichen Reihen und dem pythagoreischen Lehrsatz gezogen werden können. Das letztgenannte Gebiet sei hier, nur exemplarisch für vieles andere, herausgegriffen, berührt es doch einen der zentralen Sätze der euklidischen Schulgeometrie: Zu diesem Evergreen der Schulmathematik präsentiert Resel 24 neue Beweise, (in vorhergehenden Bänden waren schon einige Beweise präsentiert worden) die zwar auf den ersten Blick etwas technisch anmuten mögen, für interessierte Schülerinnen und Schüler der Oberstufe jedoch Einstieg und Vertiefung in verschiedene Techniken des Beweisens geben werden und auch jeden Lehrer/jede Lehrerin zur Vermittlung dieses elementaren mathematischen Handwerkszeugs inspirieren werden. Text, Abbildungen und Zeichen sind gut les- und erkennbar. Insbesondere die Beschriftungen von Zeichnungen (In Mathematikpublikationen sonst häufig ein Manko!) sind an fast jeder Stelle groß und deutlich. Zusätzlich hervorgehoben seien die gelungenen Visualisierungen der geometrischen Beweisschritte, die den Text zum Teil mit farbigen Hervorhebungen ansprechend ergänzen. Die Verwendung in der Schule wird sich vermutlich (wie im Umschlagtext angekündigt) auf den Oberstufenunterricht beschränken, und auch dort auf Kurse mit besonders interessierten Schülerinnen und Schülern. Für diese jedoch ist diese Publikation des Logos-Verlags nachhaltig zu empfehlen – es werden einerseits Themen für die in der Oberstufe häufig verlangte Facharbeit darin zu finden sein, andererseits wird man auch Material für mathematisch-naturwissenschaftliche Projektkurse finden. Auch mathematische Proseminare werden Gewinn aus der Lektüre ziehen. Man kann sich wünschen, dass in nächster Zeit weitere kreative Bände dieser Aufmachung entstehen. Der Autor zeigt eindrücklich, dass die Schulmathematik sich nicht (wie aktuell in vielen Schulbüchern üblich) in öden Anwendungskontexten ergehen muss, sondern auch innermathematische Überlegungen, Gedankenspiele und Resultate ihren ganz eigenen Reiz und Wert haben. Johannes Groß, lehrerbibliothek.de Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Analysis 2.1 Eine schöne Ungleichung 2.2 Ergänzung zur Regel von de l'Hospital 2.3 ...sowie zur Fakultät und Gammafunktion 2.4 Eine unerwartete Herleitung der Eulerschen Formel 2.5 Zum Flächeninhalt des Kreises sowie... 2.6 ... des Hypervolumens der 4D-Kugel 2.7 Eine kurze Bemerkung zur integralen Potenzregel 2.8 Ein interessanter Integrationstrick: Feynman-Parameter 2.9 Durchschnittliche Entfernung der Erde zur Sonne 2.10 Mit Iteration zum ln(-1) 2.11 Bescheidene Beiträge zur Casas-Alvero-Vermutung 2.11.1 Ein Spezialfall zum Aufwärmen 2.11.2 Beweis für Polynomfunktionen dritten Grades 2.11.3 Beweis für Poynomfunktionen vierten Grades 2.12 Algebr. Geometrie - didaktisch/methodisch motiviert 2.13 Optimierung ohne DIfferentialrechnung 2.13.1 Die billigste Dose 2.13.2 Kostengünstigste Stromleitung 2.13.3 Maximaler Sehgenusswinkel 2.13.4 Volumsgrößte Pyramide mit Netz aus einem Quadrat 2.13.5 Flächeninhaltsgrößtes Poster auf Rechteck mit vorgegebenem Rand 2.13.6 Winkel zwischen Gerade und Ebene 2.14 Möbius-Transformationen diskret, kontinuierlich und geometrisch 3 Algebra 3.1 Ergänzungen zu den binomischen Formeln 3.2 Ergänzung zu den Grassmannschen Entwicklungssätzen 3.3 Geometrische Reihen & Quadrate 3.4 Zum Zentrum in R^(2,2) 3.5 Links- und Rechtssysteme - Orientierte Volumina 3.6 Ein geometrischer Weg zur Cramerschen Regel: Ansatz 3.7 Zur Auflösung quartischer Gleichungen 3.8 Hineinschnuppern in ausgewählte Beweismethoden 3.8.1 Vollständige Induktion 3.8.2 Rekursive und konstruktive Rechenverfahren (exemplarisch) 3.8.3 Vermischte Übungsaufgaben 3.9 Ein 28. Weg zur kleinen Lösungsformel 4 Geometrie 4.1 Fraktale Geometrie und... 4.1.1 ...lineare Differenzengleichungen 4.1.2 Fibonacci-Zahlen 4.2 Dreiecksgeometrie 4.2.1 Ergänzungen zum Inkreis 4.2.2 Gergonnescher Punkte und Gergonnesche Gerade 4.2.3 Nagelsche Punkte sowie eine Gergonnesche Ergänzung 4.2.4 Ergänzung zu den Gergonneschen Punkten 4.2.5 Ein später Nachfolger von Menelaos und Ceva 4.2.6 Höhenfußpunktdreieck, Cosinus-Summensatz und Ungleichungen 4.2.7 Vier Punkte in kollinearer Lage 4.2.8 %Sigma% - ein neuer merkwürdiger Dreieckspunkt 4.2.9 Erste Ergänzung zu %Sigma% 4.2.10 Zweite Ergänzung zu %Sigma% 4.2.11 Ein hübscher Satz aus der Dreiecksgeometrie 4.2.12 Der Fermat-Punkt 4.3 Bézier-Kurven 4.3.1 Genese 4.3.2 Aufgaben zu Bézier-Kurven 4.4 Ergänzungen zur höherdimensionalen Geometrie 4.4.1 Einstimmung auf die höherdimensionale Geometrie: Kugelvolumen 4.4.2 Hypervolumen der vierdimensionalen Sphäre via Kugelkoordinaten 4.4.3 Sphären: Höhere Dimensionen 4.5 Neue Beweise des pythagoreischen Lehrsatzes 4.5.1 Beweis (1)1 4.5.2 Beweis (1)2 4.5.3 Eine aus dem (1)2. Beweis generierte Kubik mit Focus auf ihre Schleife 4.5.4 Beweis (1)3 4.5.5 Beweis (1)4 4.5.6 Weitere Beweise des Lehrsatzes von Pythagoras 4.5.7 Unendliche geometrische Reihen und der Lehrsatz des Pythagoras 4.5.8 Geometrische Reihen, der Satz des Pythagoras und die Kardioide 4.5.9 33. PLS-Beweis 4.5.10 Weitere Kurven aus einer Pythagoras-Figur 4.6 Sodoy-Kreise 4.6.1 Problemstellung und Gleichung von Descartes 4.6.2 Von den Krümmungen zu den Radien 4.7 Kegelschnitte 4.7.1 Schnitt zweier Kegelschnitte in allgemeiner Lage 4.7.2 DIe Parabel als Kegelschnitt 4.8. Augensterne der Geometrie 4.8.1 Partielle Dreieckspartition 4.8.2 Aus zwei mach drei (Dreiecke) 4.8.3 Aus allgemein mach speziell 4.8.4 Peripheriewinkel und Umkreis 4.8.5 Parallele Sehnen berührender Kreise 4.8.6 Kopunktale Geraden aus zwei Kreisen 4.8.7 Rechtecksgenerierte Höhenschnittpunkte 4.8.8 Die Trinität der Beweisführung 4.8.9 Über Höhen, Schwerlinien und WInkelsymmetralen 4.8.10 Über Höhen, Parallelen und Umkreispunkte 4.8.11 Aus zwei mach drei (Kreise) 4.8.12 Sehnenlängensummen 4.8.13 Ein besonderes Paar kongruenter Strecken 4.9 Pyramidenhalbierung und eine Überraschung 4.10 Die Scherenkurve 4.11 Tetraederinkugeln 4.12 Würfel durch Würfel 4.13 Das einschalige Rotationshyperboloid 4.14 Ergänzungen zur Traktrix und zur Pseudosphäre 4.15 Trapeze mit Inkreis 5 Zahlentheorie 5.1 Motivation zur Rekursion bzw. Iteration 5.2 Ein Muster auf verschiedenen Niveaustufen |