1 Grundlagen der Mathematik 1

1.1 Einführung in die Aussagenlogik 1
1.1.1 Geschichtliches 1
1.1.2 Aussagenvariablen 2
1.1.3 Wahrheitswertetafeln 3
1.1.4 Beweisführungen 9
1.1.5 Anwendungen der Aussagenlogik 12
1.2 Grundbegriffe der naiven Mengenlehre 13
1.2.1 Begriff und Schreibweise der Menge 13
1.2.2 Quantoren 17
1.2.3 Die Gleichheit von Mengen, Teilmengen 18
1.2.4 Die Boolesche Mengenalgebra 20
1.3 Die reellen Zahlen 21
1.3.1 Motivation 22
1.3.2 Axiomatische Definition der reellen Zahlen 23
1.3.3 Natürliche, ganze und rationale Zahlen 27
1.3.4 Folgerungen aus den Axiomen 35
1.3.5 Potenzen und Wurzeln 38
1.3.5.1 Potenzen mit natürlichem Exponenten 38
1.3.5.2 Potenzen mit rationalem Exponenten 40
1.3.5.3 Potenzen mit reellem Exponenten 41
1.3.6 Logarithmengesetze und Logarithmensysteme 43
1.3.6.1 Begriff des Logarithmus 43
1.3.6.2 Regeln für das Rechnen mit Logarithmen 44
1.3.6.3 Spezielle Logarithmensysteme 45
1.4 Die komplexen Zahlen 46
1.5 Das Summen- und Produktzeichen 51
1.5.1 Das Summenzeichen 51
1.5.2 Das Produktzeichen 55
1.6 Gleichungen 56
1.6.1 Begriff der Gleichung 56
1.6.2 Einteilung der Gleichungen 56
1.6.3 Einteilung der Bestimmungsgleichungen 57
1.6.4 Umformen von Gleichungen 57
1.6.5 Lösen einer Bestimmungsgleichung 58
1.6.6 Das Auflösen der linearen Gleichung 58
1.6.7 Das Auflösen der quadratischen Gleichung 59
1.6.8 Das Auflösen von logarithmischen und Exponentialgleichungen 60
1.7 Ungleichungen 61
1.7.1 Begriff der Ungleichung 61
1.7.2 Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen 62
1.7.3 Ungleichungen mit Unbekannten 63
1.7.4 Quadratische Ungleichungen 65
1.7.5 Bekannte Ungleichungen 66
1.8 Binome 67
1.8.1 Binornialkoeffizienten und binomischer Satz 67
1.8.2 Näherungsformeln 71

2 Das kartesische Produkt, Relationen, Abbildungen 75

2.1 Das kartesische Produkt 75
2.2 Relationen 77
2.3 Abbildungen 83
2.4 Eigenschaften von Funktionen 94

3 Vektoralgebra 97

3.1 Vektorbegriff, Vektorraum 97
3.2 Basen von Vektorräumen 103
3.3 Das Euklidische Skalarprodukt 117
3.3.1 Definitionen 117
3.3.2 Orthonormale Basen 122
3.4 Das Vektorprodukt 125
3.5 Etwas analytische Geometrie 128
3.5.1 Einführung 128
3.5.2 Geradengleichungen 132
3.5.3 Schnitt zweier Geraden 137
3.5.4 Ebenengleichungen 139
3.5.5 Der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 142
3.5.6 Die Schnittgerade zweier Ebenen im 1R3 144
3.5.7 Abstandsaufgaben 146
3.5.7.1 Abstand Punkt - Punkt 146
3.5.7.2 Abstand Punkt - Gerade 146
3.5.7.3 Abstand Punkt - Ebene 148
3.5.7.4 Abstand paralleler Geraden 148
3.5.7.5 Abstand paralleler Ebenen 148
3.6 Beispiele und Aufgaben 149

4 Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 153

4.1 Matrizen 153
4.1.1 Spezielle Matrizen 153
4.1.2 Die Matrizenmultiplikation 156
4.1.3 Anwendungen der Matrizenmultiplikation 159
4.2 Lineare Gleichungssysteme 165
4.2.1 Begriff des linearen Gleichungssystems 165
4.2.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 167
4.2.3 Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme 171
4.2.3.1 Das Gauß-Jordan-Verfahren 172
4.2.3.2 Definition der inversen Matrix 178
4.2.3.3 Berechnung der inversen Matrix mit Gauß-Jordan 180
4.2.3.4 Lösung mittels Matrizeninversion 183
4.3 Determinanten 188
4.3.1 Axiomatische Einführung der Determinante 188
4.3.2 Rechenregeln für Determinanten 194
4.3.3 Der Entwicklungssatz nach Laplace 200
4.3.4 Anwendungen der Determinante 205
4.3.4.1 Der Rang einer Matrix 205
4.3.4.2 Berechnung der inversen Matrix mit Determinanten 208
4.3.4.3 Die Cramersche Regel 210
4.4 Eigenwertprobleme 213
4.4.1 Einführungsbeispiele 214
4.4.2 Das spezielle Eigenwertproblem 219
4.4.3 Die allgemeine Eigenwertaufgabe 223
4.4.4 Folgerungen aus der Eigenwertaufgabe 226
4.5 Etwas Numerik 238
4.5.1 Die Kernproblematik 238
4.5.2 Numerik für Gleichungssysteme 239
4.5.3 Numerik für Eigenwertprobleme 248

5 Elementare Funktionen einer reellen Veränderlichen 251

5.1 Algebraische Funktionen 251
5.1.1 Ganze rationale Funktionen 251
5.1.1.1 Definition der ganzen rationalen Funktionen 251
5.1.1.2 Lineare Funktionen 251
5.1.1.3 Quadratische Funktionen 254
5.1.1.4 Rationale Funktionen und Linearfaktoren 257
5.1.1.5 Das Hornerschema 258
5.1.1.6 Interpolationsformeln 261
5.1.2 Gebrochen rationale Funktionen 267
5.1.2.1 Definitionen 267
5.1.2.2 Die Hyperbel 269
5.1.2.3 Nullstellen, Pole und Asymptoten 270
5.1.2.4 Beispiele und Aufgaben 270
5.1.3 Nichtrationale algebraische Funktionen 273
5.1.3.1 Definitionen 273
5.1.3.2 Die Wurzelfunktion 273
5.1.3.3 Funktionsgleichungen zu den Kegelschnitten 274
5.2 Die trigonometrischen Funktionen und deren Umkehrfunktionen 276
5.2.1 Gradmaß und Bogenmaß 276
5.2.2 Die Sinus- und Kosinusfunktion 279
5.2.3 Die Tangen- und Cotangensfunktion 281
5.2.4 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen 282
5.2.5 Beispiele und Aufgaben 284
5.2.6 Kreisbogen- und Arcusfunktionen 286
5.3 Die Exponential- und Logarithmusfunktion 288
5.3.1 Die Exponentialfunktion 288
5.3.2 Die Logarithmusfunktion 290
5.4 Hyperbel- und Areafunktionen 293
5.4.1 Die Hyperbelfunktionen 293
5.4.2 Die Areafunktionen 295
5.5 Beispiele für nicht-elementare Funktionen 296
5.6 Folgen als spezielle Funktionen 297
5.6.1 Definition der Folge 297
5.6.2 Arithmetische Folgen 298
5.6.3 Geometrische Folgen 298
5.6.4 Eigenschaften von Folgen 300
5.6.5 Beispiele und Aufgaben 301
5.7 Arithmetische und geometrische Reihen 303

6 Grenzwerte und Stetigkeit 309

6.1 Grenzwerte 309
6.1.1 Vorbemerkungen 309
6.1.2 Etwas Topologie 310
6.2 Grenzwerte von Folgen 312
6.2.1 Definitionen und Kriterien 312
6.2.2 Beispiele und Aufgaben 323
6.3 Grenzwerte von Funktionen 326
6.3.1 Definitionen 326
6.3.2 Methoden zur Grenzwertberechnung 329
6.3.2.1 Die Grenzwertsätze 329
6.3.2.2 Das Vergleichskriterium 330
6.3.2.3 Umformungen 331
6.3.3 Einige wichtige Grenzwerte 332
6.3.4 Pole und Grenzwerte im Unendlichen 333
6.3.5 Asymptoten 337
6.3.6 Links- und rechtsseitige Grenzwerte 339
6.4 Stetigkeit 340
6.4.1 Begriff der Stetigkeit 341
6.4.2 Unstetigkeitsstellen und ihre Klassifikation 342
6.4.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 344

7 Differentialrechnung bei Funktionen einer Variablen 351

7.1 Differentiation von Funktionen 351
7.1.1 Definition der Ableitung 351
7.1.2 Ableitung einiger Grundfunktionen 355
7.1.3 Grundregeln des Differenzieren 357
7.1.4 Die Kettenregel 361
7.1.5 Ableitung der Umkehrfunktion 364
7.1.6 Ableitungen der Hyperbel- und Areafunktionen 366
7.1.7 Höhere Ableitungen 367
7.1.8 Beispiele und Aufgaben 367
7.2 Anwendungen der Differentialrechnung 374
7.2.1 Lokale Extremwerte und Mittelwertsätze 374
7.2.2 Taylor-Polynome 378
7.2.2.1 Herleitung der Taylorschen Formel 378
7.2.2.2 Berechnung des Restgliedes 379
7.2.2.3 Reihen elementarer Funktionen 383
7.2.2.4 Anwendungen der Taylor-Polynome 386
7.2.3 Monotonie, Extremwerte, Wendepunkte 388
7.2.3.1 Das Monotonieverhalten einer Funktion 389
7.2.3.2 Extremwerte einer Funktion 391
7.2.3.3 Wendepunkte einer Funktion 395
7.2.3.4 Kurvendiskussion 397
7.2.3.5 Extremwertprobleme 401
7.2.4 Die Regeln von de l'Hospital 412
7.2.5 Nullstellenbestimmung bei reellen Funktionen 419
7.2.5.1 Vorbemerkungen, graphische Bestimmung 419
7.2.5.2 Ein allgemeines Iterationsverfahren 420
7.2.5.3 Das Newton-Verfahren 427
7.2.5.4 Die Regula falsi 431
7.2.5.5 Das Bisektionsverfahren 432
7.2.6 Tangente und Normale 433
7.2.7 Elastizitäten 434

Differentialrechnung bei Funktionen mehrerer Variablen 441

8.1 Reelle Funktionen von mehreren Variablen 441
8.2 Grenzwerte und Stetigkeit 446
8.3 Differenzierbarkeit 453
8.3.1 Vorbemerkungen 453
8.3.2 Partielle Differenzierbarkeit 454
8.3.3 Totale Differenzierbarkeit 457
8.3.4 Ableitungen höherer Ordnung 462
8.3.5 Erweiterung der Kettenregel 465
8.3.6 Taylor-Polynome 468
8.3.7 Extremwertbestimmung 472
8.3.8 Konvexe Funktionen 482
8.3.9 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen 488
8.3.10 Ausgleichsrechnung 498
8.3.10.1 Lineare Zielfunktion 498
8.3.10.2 Quadratische Zielfunktion 501
8.3.10.3 Potenz- und Exponentialfunktion 504
8.3.11 Partielle Elastizitäten 505
8.4 Differenzierbare Abbildungen 506
8.4.1 Einführung 506
8.4.2 Differenzierbarkeit 509
8.4.3 Skalar- und Vektorfelder 513
8.4.4 Polar, Zylinder- und Kugelkoordinaten 516
8.4.4.1 Polarkoordinaten 517
8.4.4.2 Zylinderkoordinaten 520
8.4.4.3 Kugelkoordinaten 521
8.4.4.4 Weitere Koordinatensysteme 523
8.4.5 Das Einzel- und Gesamtschrittverfahren 524
8.4.6 Das mehrdimensionale Newton-Verfahren 527
8.4.7 Differentiation impliziter Funktionen 529
8.4.8 Singuläre Punkte einer Kurve 535

9 Integralrechnung 541

9.1 Vorbemerkungen 541
9.2 Das Lebesgue-Integral 545
9.2.1 Das äußere Lebesgue-Maß 545
9.2.2 Lebesgue-Integrierbarkeit 551
9.3 Der Hauptsatz der Integralrechnung 564
9.4 Stammfunktionen 568
9.4.1 Stammfunktionen der Grundfunktionen 568
9.4.2 Die Substitutionsregel 569
9.4.3 Die Produktintegration 576
9.4.4 Die Partialbruchzerlegung 580
9.4.5 Uneigentliche Integrale 600
9.4.6 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung 605
9.4.7 Konvergenzsätze 606
9.4.8 Parameterabhängige Integrale 607
9.5 Nummerische Integration 610
9.5.1 Die Trapezformel 610
9.5.2 Mittelwertformeln 614
9.5.3 Die Simpson-Regel und das Restglied 616
9.5.4 Die 3/8-Regel 619
9.6 Mehrfachintegrale 621
9.6.1 Der Satz von Fubini 621
9.6.2 Das Doppelintegral 624
9.6.2.1 Rechteckige Integrationsbereiche 624
9.6.2.2 Krummlinige Integrationsbereiche 626
9.6.3 Der Transformationssatz 631
9.6.4 Anwendungen des Doppelintegrals 635
9.6.5 Das Dreifachintegral 639
9.7 Kurvenintegrale 645
9.7.1 Definition und Motivation 645
9.7.2 Eigenschaften des Kurvenintegrals 649
9.7.3 Beispiele für Kurvenintegrale 650
9.7.4 Potentiale 660
9.7.5 Berechnung eines Potentials 666
9.8 Oberflächenintegrale 669
9.8.1 Flächen 669
9.8.2 Flächeninhalte 674
9.8.3 Flüsse durch Flächen 680
9.8.4 Gradient, Rotation und Divergenz 684
9.9 Integralsätze und Differentialformen 690
9.9.1 Einführung 690
9.9.2 Alternierende Multilinearformen 698
9.9.3 Differentialformen 703
9.9.4 Das äußere Differential 707
9.9.5 Transformationen und Differentialformen 712
9.9.6 Der Satz von Stokes für p-Formen 713
9.9.6.1 Motivation 713
9.9.6.2 Formulierung des Satzes von Stokes 722
9.9.6.3 Beispiele für den Satz von Stokes 732
9.9.6.4 Vektoranalysis 744
9.9.6.5 Folgerungen aus dem Satz von Stokes 746
9.9.7 Die Lemmata von Poincar6 748
9.9.7.1 Das 1. Lemma von Poincar6 748
9.9.7.2 Das 2. Lemma von Poincard 750
9.9.8 Anwendungen der Lemmata von Poincard 754
9.9.8.1 Dreidimensionale Vektorfelder 754
9.9.8.2 Die Maxwell-Gleichungen 755

10 Reihen 757

10.1 Reihen mit konstanten Gliedern 757
10.1.1 Definitionen und Rechenregeln 757
10.1.2 Konvergenzkriterien für Reihen 760
10.2 Funktionenfolgen und -reihen 773
10.2.1 Einführung 773
10.2.2 Konvergenz von Funktionenfolgen 774
10.2.3 Vertauschung von Grenzprozessen 780
10.2.4 Gleichmäßig konvergente Funktionenreihen 783
10.3 Potenzreihen 786
10.3.1 Der Konvergenzradius 786
10.3.2 Operationen auf Potenzreihen 791
10.3.3 Eigenschaften von Potenzreihen 792
10.3.4 Der Abelsche Grenzwertsatz 798
10.4 Anwendungen von Potenzreihen 800
10.4.1 Behandlung bestimmter Integrale 800
10.4.2 Spezielle Funktionen als Potenzreihen 800

11 Komplexe Zahlen und Funktionentheorie 805

11.1 Grundlagen 805
11.1.1 Die komplexe Zahlenebene 805
11.1.2 Die Eulersche Gleichung 806
11.1.2.1 Herleitung 806
11.1.2.2 Die Funktion exp(jc/i) 808
11.1.2.3 Multiplikation und Division in der Exponentialform 808
11.1.3 Potenzen komplexer Zahlen 810
11.1.3.1 Potenzen mit ganzzahligem Exponenten 810
11.1.3.2 Wurzeln komplexer Zahlen 810
11.1.3.3 Potenzen mit irrationalem Exponenten 812
11.1.4 Die Formeln von Moivre 813
11.1.5 Komplexe Grundfunktionen 814
11.1.5.1 Komplexe Polynome 814
11.1.5.2 Die komplexe Exponentialfunktion 815
11.1.5.3 Die komplexe Logarithmusfunktion 817
11.1.5.4 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen 819
11.1.6 Anwendungen 821
11.1.6.1 Symbolische Rechnung in der Wechselstromtechnik 821
11.1.6.2 Ortskurven 823
11.2 Funktionentheorie 824
11.2.1 Topologische Hilfsmittel 824
11.2.2 Folgen von komplexen Zahlen 825
11.2.3 Reihen mit komplexen Gliedern 828
11.2.4 Kurven und Gebiete in C 829
11.3 Komplexe Funktionen 832
11.3.1 Der Funktionsbegriff 832
11.3.2 Grenzwerte und Stetigkeit komplexer Funktionen 834
11.3.3 Komplexe Differenzierbarkeit 837
11.3.4 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 842
11.4 Integrale 848
11.4.1 Komplexe Integrale 848
11.4.2 Kurvenintegrale 850
11.4.3 Der Cauchy'sche Integralsatz 856
11.4.4 Der Residuensatz 861
11.4.5 Der Ftesiduenkalkül 863
11.4.5.1 Methoden der Residuenberechnung 863
11.4.5.2 Beispiele zum Residuensatz 865
11.4.5.3 Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz 866
11.5 Komplexe Potenzreihen 875
11.5.1 Folgen von Funktionen 875
11.5.2 Reihen von Funktionen 877
11.5.3 Potenzreihen 879
11.5.4 Elementare Funktionen 881
11.5.5 Holomorphe Funktionen 885

12 Differentialgleichungen 887

12.1 Motivation und Definitionen 887
12.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 894
12.2.1 Erste Lösungsmethoden 894
12.2.1.1 Potenzreihenansätze 894
12.2.1.2 Die Dgl mit getrennten Veränderlichen 905
12.2.1.3 Lineare Dgln erster Ordnung 911
12.2.1.4 Die Bernoullische Differentialgleichung 930
12.2.1.5 Substitutionsmethoden 932
12.2.1.6 Physikalische Anwendungen: Ballistik 935
12.2.2 Der Satz von Picard-Lindelöf: Existenz einer Lösung 940
12.2.3 Folgerungen aus dem Satz von Picard-Lindelöf 950
12.2.3.1 Dgl-Systeme y' = Ay + h(x) 950
12.2.3.1.1 Matrixfunktionen 952
12.2.3.1.2 Homogene Dgl-Systeme 968
12.2.3.1.3 Inhomogene Dgl-Systeme 996
12.2.3.1.4 Dgl-Systeme rillt speziellen Störgliedern 1008
12.2.3.2 Dgln n-ter Ordnung 1015
12.2.3.2.1 Der Zusammenhang mit Dgl-Systemen 1015
12.2.3.2.2 Die homogene Dgl 1019
12.2.3.2.3 Die inhomogene Dgl 1023
12.2.3.2.4 Dgln mit speziellen Störfunktionen 1027
12.2.3.2.5 Physikalische Anwendungen: Federschwingung 1043
12.2.3.3 Dgl-Systeme = A(x)y + h(x) 1047
12.2.3.4 Fundamentalsysteme 1050
12.2.3.5 Dgl-Systeme n-ter Ordnung 1056
12.2.4 Abhängigkeit von Anfangsbedingungen 1060
12.2.5 Nummerische Lösungsverfahren 1062
12.2.5.1 Lösungsverfahren für Funktionen 1062
12.2.5.2 Lösungsverfahren für Dgl-Systeme 1068
12.3 Partielle Differentialgleichungen 1072
12.3.1 Allgemeines 1072
12.3.2 Partielle und gewöhnliche Dgln 1072
12.3.3 Spezielle Lösungen der Wellengleichung 1074

13 Fourier-Reihen 1079

13.1 Einführung 1079
13.2 Trigonometrische Polynome 1081
13.3 Konvergenzeigenschaften 1085
13.4 Die komplexe Schreibweise 1092
13.5 Das Amplitudenspektrum 1095
13.6 Größenordnung der Fourier-Koeffizienten 1096
13.7 Beispiele, elementare Fourier-Reihen und Aufgaben 1098
13.8 Rechenregeln 1107
13.9 Die diskrete Fourier-Transformation 1110

14 Integraltransformationen 1115

14.1 Generelles 1115
14.2 Die Fourier-Transformation 1115
14.2.1 Motivation 1115
14.2.2 Die komplexe Schreibweise 1120
14.2.3 Die Fourier-Transformation 1124
14.2.4 Existenz 1124
14.2.5 Umkehrformeln 1129
14.2.6 Eigenschaften 1131
14.2.6.1 Linearität 1132
14.2.6.2 Der Verschiebungssatz 1132
14.2.6.3 Das Faltungsprodukt 1133
14.2.6.4 Differentiation 1134
14.2.7 Anwendungen 1135
14.3 Die Laplace-Transformation 1137
14.3.1 Definition und Existenz 1137
14.3.2 Umkehrsatz und Identitätssatz 1140
14.3.3 Eigenschaften 1142
14.3.3.1 Linearität 1142
14.3.3.2 Der Streckungssatz 1142
14.3.3.3 Das Faltungsprodukt 1143
14.3.3.4 Differentiation 1146
14.3.3.5 Integration 1148
14.3.3.6 Partialbruchzerlegungen 1150
14.3.4 Anwendungen der Laplace-Transformation 1155
14.3.4.1 Das Lösen von Dgln 1155
14.3.4.2 Elektrotechnik 1160
14.3.4.3 Systeme linearer Dgln 1162
14.4 Korrespondenztabellen 1165

15 Differentialgeometrie 1175

15.1 Wege und Kurven 1175
15.1.1 Einführung: Ebene Kurven 1175
15.1.2 Kurven im IR" 1179
15.2 Theorie ebener Kurven 1188
15.2.1 Krümmung 1188
15.2.2 Beispiele 1193
15.3 Theorie räumlicher Kurven 1197
15.3.1 Krümmung und Torsion 1197
15.3.2 Berechnung von Krümmung und Torsion 1199
15.3.3 Die Frenetschen Formeln 1203

Lösungen der Aufgaben 1205
Index V