Vorwort 11

Teil I Grundlagen 13
Kapitel 1 Elementare Logik 17
1.1 Aussagen 18
1.2 Aussagenverknüpfungen und Aussagenfunktionen 19
1.3 Boolesche Algebra und Boolesche Funktion 28
1.4 Aussageformen und Quantoren 36
1.5 Beweistechniken 38
1.6 Aufgaben 41
Kapitel 2 Elementare Mengenlehre 43
2.1 Mengen und Elemente 44
2.2 Konstruktion von Mengen, Verknüpfung von Mengen 46
2.3 Kartesisches Produkt von Mengen 49
2.4 Aufgaben 53
Kapitel 3 Algebra, Ordnung und Topologie der reellen Zahlen 55
3.1 Induktion 56
3.2 Algebraische Strukturen bei den Zahlen 57
3.3 Ordnungsstrukturen bei den Zahlen 59
3.4 Verträglichkeit zwischen Algebra und Ordnung 60
3.5 Topologie der Zahlen 62
3.6 Darstellung von Zahlen im Computer 70
3.7 Elemente der Kombinatorik 73
3.8 Aufgaben 79
Kapitel 4 Komplexe Zahlen 81
4.1 Gaußsche Zahlenebene, Körper der komplexen Zahlen 82
4.2 Geometrische Veranschaulichung der Operationen 85
4.2.1 Die Addition, Subtraktion und Multiplikation mit reellen Zahlen 85
4.2.2 Die trigonometrische Darstellung - Multiplikation - Division 90
4.2.3 Die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl, ez, sin z, cos z 92
4.3 Berechnung der n-ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl 94
4.4 Riemannfläche - Logarithmus - Potenzgesetze und Logarithmengesetze 96
4.5 Die komplexe Vollebene - der Punkt z = ∞ 100
4.6 Geometrie in der komplexen Vollebene 101
4.7 Topologie der komplexen Zahlen 102
4.8 Anwendung der komplexen Zahlen in der Elektrotechnik 103
4.9 Aufgaben 115
Kapitel 5 Relationen und Abbildungen 117
5.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften 118
5.2 Mächtigkeit von Mengen 128
5.3 Beispiele von Funktionen 131
5.4 Umkehrfunktion einer reellen Funktion einer Veränderlichen 142
5.5 Die symmetrische Gruppe der Abbildungen 147
5.6 Aufgaben 151

Teil II Lineare Algebra 153
Kapitel 6 Lineare Räume 155
6.1 Axiomensystem, Beispiele 156
6.2 Matrizen 160
6.3 Basis, Dimension 169
6.4 Affiner Raum 173
6.5 Unterräume, Dimensionssätze 176
6.6 Lineare Gleichungssysteme - Gaußalgorithmus 185
6.7 Matrixrang, Inverse Matrix 191
6.8 Koordinaten - Darstellung und Transformation 194
6.9 Aufgaben 201
Kapitel 7 Lineare Abbildungen 205
7.1 Definition, Beispiele, Grundlagen 206
7.2 Lösungsprinzipien linearer Gleichungen 213
7.3 Koordinatenmatrix einer linearen Abbildung 218
7.4 Transformation der Koordinatenmatrix 221
7.5 Lineare Funktionale im Raum X* - duale Basis 222
7.6 Basisdarstellung linearer Abbildungen 228
7.7 Basis- und Koordinatentransformation in X* 233
7.8 Die duale Abbildung L#, Annullatoren 235
7.9 Aufgaben 243
Kapitel 8 Multilineare Abbildungen 245
8.1 Definition, Koordinaten, Tensor 246
8.2 Potenzabbildung und Polynome 252
8.3 Determinantenform und Determinante 253
8.4 Aufgaben 267
Kapitel 9 Lineare Abbildungen in Hilberträumen 269
9.1 Raum mit Skalarprodukt, QR-Zerlegung 270
9.2 Adjungierte Abbildungen 285
9.3 Selbstadjungierte Endomorphismen 288
9.4 Orthogonale und unitäre Abbildungen 294
9.5 Normale Endomorphismen 299
9.6 Aufgaben 301
Kapitel 10 Spektralzerlegung linearer Endomorphismen 303
10.1 Eigenwerte, Eigenvektoren, Hauptachsentransformation 304
10.2 Positive (negative) Definitheit 315
10.3 Spektralzerlegung normaler Endomorphismen 317
10.4 Analytische Funktionen normaler Endomorphismen 321
10.5 Vertauschbarkeit normaler Endomorphismen 326
10.6 Jordannormalform von Endomorphismen 327
10.7 Analytische Funktionen beliebiger Endomorphismen 334
10.8 Aufgaben 337
Kapitel 11 Singulärwertzerlegung linearer Abbildungen 341
11.1 Singulärwertzerlegung 342
11.2 Norm einer linearen Abbildung 345
11.3 Pseudoinverse einer linearen Abbildung 346
11.4 Lineare Quadratmittel-Approximation 350
11.5 Aufgaben 356

Teil III Analysis 357
Kapitel 12 Folgen 359
12.1 Konvergenz 360
12.2 Rechnen mit Zahlenfolgen 370
12.3 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen 373
12.4 Reihen 377
12.5 Aufgaben 390
Kapitel 13 Normierte Vektorräume 393
13.1 Norm 394
13.2 Prähilberträume 396
13.3 Vollständigkeit 400
13.4 Aufgaben 405
Kapitel 14 Stetigkeit 407
14.1 Topologische Grundbegriffe 408
14.2 Grenzwerte von Funktionen 412
14.3 Stetige Funktionen 416
14.4 Banachscher Fixpunktsatz 424
14.5 Aufgaben 433
Kapitel 15 Funktionenfolgen 437
15.1 Gleichmäßige Konvergenz 438
15.2 Potenzreihen 444
15.3 Elementare Funktionen 451
15.4 Aufgaben 465
Kapitel 16 Differenziation 467
16.1 Die Differenzierbarkeit einer Abbildung 469
16.2 Partielle Ableitungen 477
16.3 Mittelwertsätze 488
16.4 Der Taylorsche Satz 500
16.5 Die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen 511
16.6 Extrema von Funktionen mehrerer Variabler 522
16.6.1 Extrema von Funktionen ohne Nebenbedingung 522
16.6.2 Extrema von Funktionen mit Nebenbedingungen 530
16.7 Aufgaben 538
Kapitel 17 Integralrechnung in einer Variablen 541
17.1 Das bestimmte Riemannsche Integral 543
17.2 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 558
17.3 Integrationsregeln und Integrationstechniken 563
17.4 Uneigentliche Integrale 570
17.4.1 Unbeschränkter Integrationsbereich 570
17.4.2 Unbeschränkter Integrand 575
17.5 Parameterabhängige Integrale 577
17.6 Anwendungen der Integralrechnung 583
17.6.1 Volumen eines Rotationskörpers 583
17.6.2 Parametrisierte Kurven, Bogenlänge 585
17.6.3 Einige Begriffe der Kurvengeometrie 595

17.7 Aufgaben 611
Teil IV Numerische Methoden 615
Kapitel 18 Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme 617
18.1 LU-Zerlegung und Gauß-Algorithmus 618
18.2 Pivotisierung und Pivotstrategien 625
18.3 Matrixinversion und Cholesky-Zerlegung 632
18.4 Matrixnormen, Konditionszahlen und Fehlerschätzung 638
18.5 Aufgaben 654
Kapitel 19 Iterative Verfahren für große lineare Gleichungssysteme 657
19.1 Splitting-Verfahren 658
19.2 Systeme mit spezieller Struktur und Relaxation 668
19.3 Krylov-Unterräume und Arnoldi-Verfahren 676
19.4 GMRES-Verfahren und BiCG-Verfahren 682
19.5 Aufgaben 693
Kapitel 20 Approximation von Eigenwerten/-vektoren 697
20.1 Vektoriteration und inverse Iteration 698
20.2 QR-Zerlegung und QR-Verfahren 705
20.2.1 QR-Zerlegung 706
20.2.2 QR-Verfahren 710
20.3 Krylov-Unterraum-Methoden 718
20.4 Aufgaben 728
Kapitel 21 Numerische Methoden für nichtlineare Gleichungssysteme 731
21.1 Picard-Verfahren 733
21.2 Newton-Verfahren 742
21.3 Vereinfachte Newton-Verfahren 757
21.4 Anwendungen des Newton-Verfahrens 763
21.5 Großdimensionale nichtlineare Systeme 774
21.6 Parameterabhängige nichtlineare Systeme 779
21.7 Numerische Kurvenverfolgung 785
21.8 Aufgaben 794
Kapitel 22 Numerische Interpolation und Integration 797
22.1 Polynom-Interpolation von Funktionen 798
22.2 Newton- und Hermite-Interpolation 805
22.3 Spline-Interpolation 812
22.4 Anwendungen von Splines 818
22.5 Numerische Integration 822
22.5.1 Newton-Cotes- und Gauß-Legendre-Formeln 823
22.5.2 Zusammengesetzte Integrationsformeln 829
22.5.3 Romberg-Verfahren und adaptive Integrationsformeln 832
22.6 Aufgaben 838

Literaturverzeichnis 841
Sachregister 847