1 Mengen, Relationen und Funktionen 11

1.1 Mengen 11
1.2 Variable – Virtuelle Speicherplätze 14
1.3 Aussagen, Formeln und Lösungsmengen 17
1.4 Noch einmal Mengen 20
1.5 Beziehungskisten – Relationen 23
1.6 Graphen sind keine Grafen 28
1.7 Funktionen 32
1.8 Umkehrfunktionen 35
1.9 Explizite Darstellung von Funktionen 37
1.10 Abbildungen sind auch Funktionen 43
1.11 Auch Verknüpfungen sind Funktionen 46
1.12 Aus Zwei mach Eins – ein Ausflug in die mathematische Logik 50
1.13 Wenn dann und genau dann, wenn 56
1.14 Dienstbare Geister auf Rechnern – Funktionsunterprogramme 61
1.15 Verknüpfungen von Mengen 67
1.16 Unterwegs auf dem Zahlenstrahl – Intervalle 70
1.17 Quantoren – oder wie viel darf es denn sein? 73

2 Zahlen, Rechenregeln und Algebraische Strukturen 78

2.1 Abzählprinzipien – Addition 78
2.2 Abzählprinzipien – Multiplizieren 82
2.3 Abzählprinzipien – Multiplizieren und Addieren 84
2.4 Ganze Zahlen 87
2.5 Ganze Zahlen kann man auch multiplizieren 90
2.6 Subtraktionen gibt es auch noch 92
2.7 Die Likedeeler und das Teilen – Rationale Zahlen 98
2.8 Gruppen, Ringe und Körper 102
2.9 Bruchrechnung – der Schrecken von Klasse 6 105
2.10 Potenzen 115
2.11 Tante Sally erweitert Punkt-vor-Strich 121
2.12 Binomische Formeln 123

3 Darstellung von Zahlen 128

3.1 Stellenwertsysteme 128
3.2 Dezimalbrüche 132
3.3 Periodische Dezimalbrüche 136
3.4 Keine Angst vor unendlichen Summen 140
3.5 Reelle Zahlen 144
3.6 Irrationalzahlen in der Praxis 150

4 In die Praxis fertig los – Größen und ihre Darstellung 152

4.1 Größen 152
4.2 Gleitkommazahlen 160
4.3 Präfixe – Vorsatzzeichen 165

5 Die wichtigsten Werkzeuge der Praxis 169

5.1 Ebene Winkel – mehr dahinter, als man denkt 169
5.2 Grafische Darstellung in Koordinatensystemen 181
5.3 Proportionalitäten und Lineare Funktionen 187
5.4 Der Differenzenquotient 194
5.5 Der Differenzialquotient 198
5.6 Ableitungsfunktionen 201
5.7 Von Stammfunktionen und Integralen 210
5.8 Bestimmte Integrale 216

6 Maße für die Welt 219

6.1 Das Meter 219
6.2 Sekunde und Meter pro Sekunde 225
6.3 Von numerischer Integration und bestimmten Integralen 234
6.4 Der Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung 240
6.5 Das Integral als Flächeninhalt 245
6.6 Masse, Gewicht und Stoffmenge 248
6.7 Die Krafteinheit Newton 257
6.8 Watt und Joule 262
6.9 Antiproportional versus Proportional 266

7 Reelle Funktionen 272

7.1 Umkehrfunktionen einstelliger reeller Funktionen 272
7.2 Quadratische Funktionen und Wurzeln 278
7.3 Potenzfunktionen 285
7.4 Ganzrationale Funktionen 296
7.5 Rationale Funktionen 303
7.6 Winkelfunktionen 307
7.7 Tangens gibt es auch noch 315
7.8 Anwendung der Winkelfunktionen auf Dreiecke 319
7.9 Additionstheoreme 324
7.10 Miniwinkel 328
7.11 Ableitungen der Winkelfunktionen 331
7.12 Koordinatentransformationen 333
7.13 Noch mehr Koordinatentransformationen 337
7.14 Schwingungen 345
7.15 Die Schwingungsdifferenzialgleichung 352
7.16 Die Taylorreihe 355
7.17 Zweite Ableitung und Krümmung 361
7.18 Berg und Tal 365
7.19 Singularitäten 373
7.20 Lawinenartiges Wachstum oder die Exponentialfunktion 379
7.21 Exponentielle Zerfalls- und Abklingprozesse 387
7.22 Der Logarithmus 390
7.23 Andere Basen gibt es auch 397
7.24 Produktintegration und Substitutionsregel 403
7.25 Logarithmische Skalierungen 412

8 Vektoren und Vektorräume 421

8.1 Translationen 421
8.2 Verknüpfung Nr. 1 424
8.3 Noch eine Verknüpfung 427
8.4 Linearkombination, Basis und Dimension 431
8.5 Koordinatenvektoren 440
8.6 Das skalare Produkt 444
8.7 Vektorfelder 457
8.8 Das Kreuzprodukt 473
8.9 Vektorgleichungen und lineare Gleichungssysteme 482
8.10 Der Gaußsche Algorithmus 495
8.11 Matrizengymnastik 499
8.12 Höherdimensionale Vektorräume 517

9 Komplexe Zahlen 527

9.1 Zahlen mit zwei Komponenten? 527
9.2 Mit komplexen Zahlen rechnen 531
9.3 Polarkoordinaten 536
9.4 Funktionen im Komplexen 543
9.5 Komplexe Wurzeln 548
9.6 Berechnung von Stromkreisen mithilfe der komplexen Zahlen 553
9.7 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 571

Anhang 585
Ergänzende Hinweise 585
Sachwortverzeichnis 587