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Mathematik 1 kurz & klar
Mathematik 1
kurz & klar




Dietrich Grude

Auer
EAN: 9783403025030 (ISBN: 3-403-02503-9)
176 Seiten, paperback, 17 x 24cm, 2001

EUR 15,60
alle Angaben ohne Gewähr

Umschlagtext
Der Verfasser: Diplommathematiker Dr. Dietrich Grude hat langjähri-ge Erfahrungen in der Schul- und Hochschulmathematik sowie in der Erwachsenenbildung. An das Studium der Mathematik schloss sich eine Tätigkeit als wissenschaftlicher Assistent an einer Technischen Universität mit Promotion in Mathematik an. Danach erfolgte der Wechsel in den Schuldienst. Der Verfasser unterrichtet an einem Gymnasium und ist Fachleiter für Mathematik an einem staatlichen Studienseminar.





Mathematik - kurz & klar besteht aus zwei Bänden:



Dieser Band - Mathematik 1 - umfasst etwa den Stoff bis zum Realschulabschluss.



Der zweite Band behandelt die Mathematik bis zum Abitur, Bestell-Nr. 2504.



Das Werk dient der Wiederholung, Vervollständigung und Modernisierung des Schulwissens und der Förderung von Einsichten in Zusammenhänge der Mathematik.



- Mathematische Begriffe werden klar definiert und anschaulich beschrieben.

- Mathematische Sätze werden genannt und bewiesen. Die Beweise sind exakt geführt und leicht lesbar gestaltet.

- Lösungsverfahren zu vielen Aufgabenstellungen - insbesondere zu den Standardproblemen - werden dargestellt und an Beispielen komplett durchgerechnet.

- Es werden auch neue Gebiete der Mathematik behandelt, die erst allmählich ihren Einzug in die Schulmathematik finden. Dazu gehören die Stochastik (Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik), Numerik und die mathematischen Probleme beim Einsatz von Computern.



Inhalt dieses Buches:

Zahlen - Rechnen

Geometrie

Funktionen

Gleichungen und Ungleichungen

Stochastik 1

Numerik

Computer-Mathematik



Inhalt Band 2:

Logik und Mathematik

Mengenlehre

Analysis

Differenzialrechnung

Integralrechnung

Numerik 2

Vektoren (analyt. Geometrie)

Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Stochastik 2
Rezension
"Mathematik 1" widmet sich den Themen der Sekundarstufe I. Mit den Kapiteln "Stochastik - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik", "Numerik" und "Computer-Mathematik" geht das Buch auf rund 40 Seiten auch auf neuere Gebiete der Schulmathematik ein. Begriffe werden prägnant und übersichtlich erläutert. Beispiele schlagen die Brücke zwischen der Mathematik und der Erfahrungswelt der Schüler. Mathematische Verfahren werden allgemein beschrieben und an Beispielen verdeutlicht. Die Definitionen aus diesem Werk unterscheiden sich zu denen eines Mathematiklexikons dahingehend, dass sie hier für Schüler verständlich formuliert worden sind, ohne an Exaktheit einzubüßen. Auch Beweise werden nicht abstrakt geführt, sondern in einer schülergerechten Sprache - manchmal auch exemplarisch an Beispielen. Dieses gelungene Repetitorium kann Schülern gut zum Wiederholen und zum Vorbereiten auf Klassenarbeiten helfen.

Ferrao, lehrerbibliothek.de
Verlagsinfo
Wissensstoff bis zum Realschulabschluss


Zinseszinsen, kgV, Kugelvolumen, Zehnerlogarithmus...: Sie möchten nachschlagen, Ihr Wissen auffrischen?


Mathematik 1 - kurz & klar bietet Ihnen eine umfassende, leicht verständliche Abhandlung aller mathematischen Themen bis zum Realschulabschluss und darüber hinaus. Für alle, die mathematisch am Ball bleiben wollen!
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 3
Inhaltsverzeichnis 4
Mathematische Zeichen 7


Zahlen-Rechnen

Einordnung 9
Zahlmengen 10
Rechengesetze und Rechenvereinbarungen 11
Terme 12
Betrag eines Terms 12
Bruchrechnung 13
Rechnen mit Brüchen 13
Primfaktoren 14
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) 14
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) 15
Prozentrechnung 15
Zinsrechnung 16
Zinseszinsen 16
Höhere Rechenarten 17
Potenzen 17
Wurzeln 18
Logarithmen 19
Dezimal- und Dualdarstellung von Zahlen 20
Der Taschenrechner 22


Geometrie

Einordnung 25

Punktmengen in der Ebene 26
Winkel 27
Kongruenzabbildungen in der Ebene 32
Einordnung 32
Achsenspiegelungen 32
Erste Folgerungen aus den Eigenschaften von Achsenspiegelungen 33
Verkettung von Achsenspiegelungen 34
Verschiebungen 34
Verschiebungen als Doppelspiegelungen 35
Drehungen 36
Drehungen als Doppelspiegelungen 36
Punktspiegelungen 37
Kongruente Punktmengen - der Dreispiegelungssatz 37
Die Gruppe der Kongruenzabbildungen 39
Dreiecke 39
Typen von Dreiecken 39
Besondere Strecken in Dreiecken 40
Sätze über Dreiecke 40
Dreiecksungleichungen 40
Winkelsumme im Dreieck 41
Der Umkreis eines Dreiecks 41
Der Inkreis eines Dreiecks 41
Der Schwerpunkt im Dreieck 42
Sätze für gleichschenklige Dreiecke 43
Ein Satz über Winkelgrößen und Seitenlängen im Dreieck 43
Sätze für gleichseitige Dreiecke 43
Der Flächeninhalt eines Dreiecks 43
Der Thaleskreis 44
Die Kongruenzsätze für Dreiecke 44
Die Grundkonstruktionen für Dreiecke 46
Vierecke 48
Eine Klassifizierung der Vierecke 48
Drachen 49
Rauten 49
Trapeze 49
Parallelogramme 50
Rechtecke 50
Quadrate 50
Die Winkelsumme in Vierecken 51
Vielecke 51
Kreise 52
Sätze über Kreise 52
Kreise und Geraden 53
Winkel im Kreis 54
Ähnlichkeit 55
Einordnung 55
Zentrische Streckung 55
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke 56
Die Strahlensätze 56
Die Satzgruppe des Pythagoras 57
Der Kathetensatz des Euklid 57
Der Höhensatz des Euklid 57
Der Satz des Pythagoras 57
Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras 58 Verwandlung eines Rechtecks in ein flächengleiches Quadrat 58
Längenberechnung mit dem Satz des Pythagoras 58

Geometrie im dreidimensionalen Raum 59
Einordnung 59
Parallelprojektion 60
Senkrechte Parallelprojektionen 60
Schrägbilder 61
Körper im Raum 63
Polyeder 63
Quader 63
Prisma und Zylinder 63
Pyramide und Kegel 64
Kugel 65
Das Prinzip von Cavalieri 66
Der Euler'sche Polyedersatz 67

Geometrische Berechnungen mithilfe der trigonometrischen Funktionen (Trigonometrie) 68
Einordnung 68
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck 68
Berechnungen am allgemeinen Dreieck 69
Der Sinussatz 69
Der Kosinussatz 70
Die vier Hauptfälle für Dreiecksberechnungen 71
Einige Anwendungsaufgaben zur Trigonometrie 73


Funktionen - Relationen

Einordnung 75
Funktionsbegriff - Relationsbegriff 76
Schreibweise für Funktionen 76
Darstellung von Funktionen 76
Der Graph einer Funktion 78

Funktionstypen 78
Übersicht über die behandelten Funktionstypen 78
Rationale Funktionen 79
Der Funktionstyp x --> c 80
Der Funktionstyp x --> ax 80
Der Funktionstyp x --> ax + b 80
Definition der Steigung einer Geraden 80
Typische Geradenprobleme 81
Der Funktionstyp x --> ax hoch 2 + bx + c 82
Der Einfluss der Parameterwerte auf die Lage der Parabel 82
Allgemeine Eigenschaften von Parabeln 83
Die Scheitelpunktform des Parabelterms 83
Nullstellen einer Parabel, Quadratische Gleichungen 83
Die Produktdarstellung des Funktionsterms ax hoch 2 + bx + c 84
Der Satz von Vieta 84
Typische Probleme für Parabelfunktionen 84
Der Funktionstyp x --> ax hoch 3 + bx hoch 2 + cx + d 86
Allgemeine Eigenschaften der Graphen dieser Funktionen 86
Ein Nullstellenproblem 86
Der Funktionstyp x --> a/(x+b) 87
Der Funktionstyp x --> a/x 87
Der Funktionstyp x --> x hoch q 88
Der Funktionstyp x --> x hoch (1/n) 89
Betragsfunktionen 89
Die Exponential- und Logarithmusfunktionen 91
Wachstumsvorgänge 91
Lineares Wachstum 91
Exponentielles Wachstum 91
1. Definition des exponentiellen Wachstums 92
2. Definition des exponentiellen Wachstums 92
Der Funktionstyp x --> b hoch x 92
Zusammenhang von f: x --> b hoch x und g: x --> (1/b) hoch x 93
Der Funktionstyp x --> a * b hoch x 93
Beispiele zur Bestimmung einer Exponentialfunktion bei gegebenem exponentiellem Wachstum 93
Der Funktionstyp x --> log (x) zur Basis b 94
Zehnerlogarithmus 95
Darstellung einer gegebenen Logarithmusfunktion mithilfe des Zehnerlogarithmus 95
Trigonometrische Funktionen 96
Einordnung 96
Periodische Funktionen 96
Begriffe aus der Trigonometrie 96
Das Modell für die periodischen trigonometrischen Funktionen 97
Die Funktionen x --> sin (x) - die Sinusfunktion und x --> cos (x) - die Kosinusfunktion 98
Allgemeine Eigenschaften 98
Die Funktionen x --> tan (x) - die Tangensfunktion und x --> cot(x) - die Kotangensfunktion 99
Zusammenhänge zwischen den Funktionstermen der einzelnen trigonometrischen Funktionen 100
Der Funktionstyp x --> a * sin (bx + c) 100
Überlagerung (Superposition) von Sinus- und Kosinusfunktionen 101
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen 103
Die Arcussinusfunktion x --> Arcsin (x) 103
Die Arcuskosinusfunktion x --> Arccos (x) 103
Die Arcustangensfunktion x --> Arctan (x) 104
Die Arcuskotangensfunktion x --> Arccot (x) 104
Allgemeine Eigenschaften der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen 105

Zusammenstellung für Funktionen: Begriffe - Eigenschaften - Standardprobleme 106
Einordnung 106
Begriffe, Bezeichnungen und Sprechweisen 106 Standardprobleme 114


Gleichungen und Ungleichungen

Einordnung 120
Gleichungen 121
Äquivalenzumformungen 121
Regeln zum zielgerichteten Umformen von Gleichungen 123
Einige besondere Gleichungstypen 124
Ungleichungen 125
Lineare Gleichungssysteme 126
Ein allgemeines Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme 126
Übersicht: Die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 128
Lineares Programmieren oder lineares Optimieren 130
Beispiel für ein Anwendungsproblem zum linearen Optimieren 131


Stochastik - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Einordnung 133

Vom Zufall 134
Zufällige Ereignisse 134
Mathematische Festlegung zu zufälligen Ereignissen 136

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 137
Erster Zugang: Wahrscheinlichkeit als Sicherheitsmaß 137
Das Axiomensystem von Kolmogoroff 137
Folgerungen aus dem Axiomensystem 138
Der Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung 139
Zweiter Zugang: Der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff 139
Dritter Zugang: Der Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace 141
Zusammenfassung 141
Geometrische Wahrscheinlichkeiten 141
Beispiele zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 142
Stochastische Abhängigkeit - die bedingte Wahrscheinlichkeit 143
Zufallsvariable - Wahrscheinlichkeitsverteilungen 144
Einordnung 144
Die Zufallsvariable 144
Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion 144
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion 145
Die Gleichverteilung 146
Die Binomial- oder Bernoulliverteilung 146
Parameter einer Wahrscheinlichkeits-verteilung 149
Einordnung 149
Der Median 149
Der Mittel- oder Erwartungswert 149
Die Streuung oder Varianz 150

Statistik 151
Einordnung 151
Grundbegriffe der Statistik 151
Die (zufällig) Stichprobe 151
Die grafische Darstellung von
Stichprobenergebnissen 151
Einteilung in Messwertklassen 152
Strichliste oder Kreuzliste der klassierten Stichprobenwerte 152
Das Histogramm 152
Stichprobenparameter 153
Der Stichprobenmedian 153
Der Stichprobenmittelwert 153
Die Stichprobenstreuung oder -Varianz 153
Statistische Testverfahren (Neyman-Pearson-Tests) 153


Numerik

Einordnung 156
Rundungsfehler 157
Bezeichnungen von Fehlertypen 158
Fehlerfortpflanzung von Rundungsfehlern 158
Intervallschachtelungen 159
Flussdiagramm zum
Intervallhalbierungsverfahren 162
Näherungsverfahren für ein geometrisches Problem 162
Näherungsverfahren für Pi 162
Begriff der Intervallschachtelung 164


Computer-Mathematik

Einführung ins Programmieren mit BASIC 165
Computer 165
Das Konzept von J v Neumann 166
Die Wahl einer Programmiersprache 167
Elemente von BASIC 167
Übersicht über die benutzten BASIC-Anweisungen 172


Register 173