Kapitel 1. Zahlen und Vektoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
§1. Mengen und Abbildungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1.1 Mengen – 1.2 Mengenoperationen – 1.3 Abbildungen
§2. Die reellen Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3
2.1 Bezeichnungen – 2.2 Ungleichungen – 2.3 Intervalle – 2.4 Schranken
– 2.5 Der Betrag – 2.6 Die vollst¨andige Induktion – 2.7 Binomialkoeffizienten
und die binomische Formel – Aufgaben
§3. Die Ebene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11
3.1 Kartesische Koordinatensysteme – 3.2 Winkel – 3.3 Sinus, Cosinus
3.4 Drehungen
§4. Vektoren: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17
4.1 Kartesische Koordinatensysteme im Raum – 4.2 Vektoren – 4.3 Die
Addition von Vektoren – 4.4 Die skalaren Vielfachen eines Vektors –
4.5 Der Betrag – 4.6 Vektoren im Koordinatensystem
§5. Produkte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22
5.1 Der Winkel zwischen zwei Vektoren – 5.2 Das Skalarprodukt –
5.3 Das Vektorprodukt – 5.4 Das Spatprodukt – Aufgaben
§6. Geraden und Ebenen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34
6.1 Parameterdarstellungen einer Geraden – 6.2 Die Koordinatengleichungen
einer Geraden – 6.3 Die Momentengleichung der Geraden –
6.4 Abstand Punkt-Gerade – 6.5 Abstand Gerade-Gerade – 6.6 Parameterdarstellungen
einer Ebene – 6.7 Parameterfreie Darstellungen einer
Ebene – 6.8 Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen – 6.9 Die Winkel
zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden –
Aufgaben
§7. Gebundene Vektoren: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47
7.1 Gebundene Vektoren – 7.2 Ein System gebundener Vektoren –
7.3 Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren – Aufgaben
§8. Die komplexen Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53
8.1 Die Menge der komplexen Zahlen – 8.2 Die vier Grundrechenarten
in C – 8.3 Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen –
8.4 Anwendungen

Kapitel 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58
§1. Funktionen (Grundbegriffe) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58
1.1 Funktionen – 1.2 Monotonie – 1.3 Das Rechnen mit Funktionen
§2. Polynome und rationale Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
2.1 Polynome – 2.2 Polynomnullstellen – Faktorisierung – 2.3
Polynominterpolation – 2.4 Der Graph – 2.5 Rationale Funktionen, Polynomdivision
– 2.6 Der Definitionsbereich D – 2.7 Erg¨anzung: Polynome
¨uber C – Aufgaben
§3. Die Kreisfunktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75
3.1 Definition und einfache Eigenschaften – 3.2 Die Tangens- und Cotangensfunktion
– 3.3 Die Polardarstellung komplexer Zahlen – 3.4 Anwendungen
der De Moivre-Formeln – 3.5 Harmonische Schwingungen
– Aufgaben
§4. Zahlenfolgen und Grenzwerte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88
4.1 Folgen – 4.2 Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen
§5. Rechenregeln f ¨ur Grenzwerte und Konvergenzkriterien : : : : : : : : : 93
5.1 Rechenregeln – 5.2 Grenzwertbestimmung durch Absch¨atzung – 5.3
Monotone Folgen – 5.4 Die Exponentialfunktion – 5.5 F¨ur Fortgeschrittene:
Das Cauchy-Konvergenzkriterium – Aufgaben
§6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103
6.1 Definitionen – 6.2 Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbestimmung
– 6.3 Asymptoten – 6.4 Stetigkeit – Aufgaben
Kapitel 3. Differentiation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 112
§1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : 112
1.1 Die Definition der Ableitung – 1.2 Die geometrische Deutung der
Ableitung: Tangentenanstieg – 1.3 Die analytische Deutung der Ableitung:
Lineare Approximation – 1.4 Die physikalische Deutung der
Ableitung: Geschwindigkeit – 1.5 Stetigkeit ist notwendig f¨ur Differenzierbarkeit
– 1.6 Differentiationsregeln – 1.7 Die Differentiation der
Polynome und der rationalen Funktionen – 1.8 Die Ableitung der Kreisfunktionen
– 1.9 Die Kettenregel – 1.10 H¨ohere Ableitungen – Aufgaben
§2. Anwendungen der Differentiation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 121
2.1 Maxima und Minima einer Funktion – 2.2 Der Mittelwertsatz –
2.3 Wendepunkte – 2.4 Die Regeln von De L’Hospital – 2.5 Kurvendiskussion
– 2.6 Nullstellen und Fixpunkte – 2.7 Kubische Splines –
Aufgaben

§3. Umkehrfunktionen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 139
3.1 Grundlagen – 3.2 n-te Wurzel, rationale Exponenten – 3.3 Arcussinus,
Arcuscosinus, Arcustangens – Aufgaben
§4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147
4.1 Die e-Funktion – 4.2 Die Kurve y = ex – 4.3 Exponentiell wachsende
bzw. fallende Prozesse – 4.4 Der nat¨urliche Logarithmus 4.5 Allgemeine
Exponentialfunktionen und Logarithmen – 4.6 Die Hyperbelfunktionen
sinh, cosh, tanh – Aufgaben
Kapitel 4. Integration : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161
§1. Das bestimmte Integral : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161
1.1 Die Definition des bestimmten Integrals – 1.2 Die geometrische
Deutung – 1.3 Elementare Integrationsregeln und der Mittelwertsatz –
1.4 Differentiation und Integration – Aufgaben
§2. Integrationsregeln : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 169
2.1 Linearit¨at – 2.2 Partielle Integration – 2.3 Die Substitutionsmethode
– 2.4 Symmetrien beachten – 2.5 Ausblicke – Aufgaben
§3. Die Integration der rationalen Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179
3.1 Die Partialbruchzerlegung – 3.2 Die Integration – 3.3 Die Integration
von R(ex ) – 3.4 Die Integration von R
3.5 Die Integration von R(sin x; cos x) – 3.6 Trigonometrische und hyperbolische
Substitutionen – Aufgaben
§4. Uneigentliche Integrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 185
4.1 Die Definition der uneigentlichen Integrale – 4.2 Ein Konvergenz-
Test – 4.3 Ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral – 4.4 Ausnahmestellen
im Innern des Integrationsintervalls – Aufgaben
§5. Kurven, L¨angen- und Fl¨achenmessung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 190
5.1 Die Parameterdarstellung – 5.2 Tangente und Normale – 5.3 Kurvenl
¨ange – 5.4 Kr¨ummung und Kr¨ummungskreis – 5.5 Die Polardarstellung
einer ebenen Kurve – 5.6 Fl¨acheninhalte – Aufgaben
§6. Weitere Anwendungen des Integrals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 204
6.1 Abk¨urzende Redeweisen – 6.2 Das Volumen eines Rotationsk¨orpers
6.3 Die Mantelfl¨ache – Aufgaben
§7. Numerische Integration: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 206
Aufgaben

Kapitel 5. Potenzreihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 212
§1. Unendliche Reihen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 212
1.1 Grundbegriffe – 1.2 Absolute Konvergenz – Aufgaben
§2. Reihen von Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 221
2.1 Gleichm¨aßige Konvergenz – 2.2 Gleichm¨aßig konvergente Funktionenreihen
– Aufgaben
§3. Potenzreihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 226
3.1 Der Konvergenzradius – 3.2 Berechnung des Konvergenzradius –
3.3 Die Differentiation und Integration von Potenzreihen – 3.4 Die Potenzreihendarstellung
einiger Funktionen – 3.5 Die Binomialreihe – 3.6
Potenzreihen mit dem Zentrum a 6= 0 3.7 Koeffizientenvergleich – Aufgaben
§4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 237
4.1 Die Taylor-Formel – 4.2 Die Taylor-Reihe – 4.3 Methoden der Reihenentwicklung
– Aufgaben
§5. Anwendungen (an Beispielen) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 244
5.1 Grenzwertberechnungen – 5.2 N¨aherungsformeln (Approximation)
– 5.3 Die Reihendarstellung und Berechnung einer Integralfunktion mit
nicht elementar integrierbarem Integranden – 5.4 Potenzreihenansatz
zur L¨osung einfacher Differentialgleichungen – Aufgaben
Kapitel 6. Lineare Algebra : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 250
§1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 250
1.1 Was ist eine Matrix – 1.2 Addition, Subtraktion und Multiplikation
mit einem Zahlenfaktor – 1.3 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
1.4 Das Gauß’sche L¨osungsverfahren – Aufgaben
§2. Die Matrizenmultiplikation: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 265
2.1”Zeile mal Spalte“ –
2.2 Die Multiplikation zweier Matrizen –
2.3 Rechenregeln – 2.4 Die Transponierte einer Matrix – 2.5 Invertierbare
Matrizen – 2.6 Diagonal- und Dreiecksmatrizen – Aufgaben
§3. Vektorr¨aume : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 274
3.1 Der ”abstrakte“ Vektorraum – 3.2 Unterr¨aume, Linearkombinationen,
lineare Hülle – 3.3 Basis und Dimension – Aufgaben
§4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen: : : : : : : : : : : : : : : 286
4.1 Zeilenraum und Spaltenraum – 4.2 Elementarmatrizen – 4.3 Der
Rang und die P -Q-Normalform – 4.4 Rechenverfahren – Aufgaben

§5. Determinanten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 299
5.1 Einf¨uhrung – 5.2 Definition der Determinante einer nn -Matrix –
5.3 Rechenregeln f¨ur Determinanten – 5.4 Die Entwicklung von det A
nach einer beliebigen Zeile oder Spalte – 5.5 Beispiele – 5.6 Anwendungen
– Aufgaben
§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 311
6.1 Lineare Abbildungen – 6.2 V = W = Rn – 6.3 L¨angen und Winkel
im Rn ; Orthogonalit¨at – 6.4 Speziell: Spiegelungen und Drehungen –
6.5 Das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren – 6.6 Basiswechsel,
Koordinatentransformation – 6.7 Eigenwerte, Eigenvektoren – 6.8 Die
orthogonale Gruppe – Aufgaben
§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen: : : : : : : : : : : : : : : 339
7.1 Quadratische Formen – 7.2 Die Hauptachsentransformation –
7.3 Quadriken – 7.4 Die nichtorthogonale Diagonalisierung einer symmetrischen
Matrix – 7.5 Positiv definite Matrizen – Aufgaben
Kapitel 7. Funktionen in mehreren Variablen. Differentiation: : 359
§1. Kurven im Rn : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 360
1.1 Parameterdarstellungen – 1.2 Das begleitende Dreibein, Kr¨ummung,
Torsion – 1.3 Erg¨anzung: Der nat¨urliche Parameter und die Frenetschen
Formeln – Aufgaben
§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Ver¨anderlicher : : : : : : : 370
2.1 Grundlagen – 2.2 Grenzwerte und Stetigkeit – 2.3 Partielle Ableitungen,
der Gradient – 2.4 Die totale Ableitung und lineare Approximation
– 2.5 Einfache Anwendungen – 2.6 Die Richtungsableitung, der
Anstieg und die Kettenregel – Aufgaben
§3. Anwendungen der Differentiation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 391
3.1 Die Bedeutung des Gradienten – 3.2 Approximation h¨oherer Ordnung;
die Taylor-Formel – 3.3 Implizite Funktionen – 3.4 Lokale Minima
und Maxima – 3.5 Ausgleichsrechnung – 3.6 Extremwertaufgaben
mit Nebenbedingungen – Aufgaben
§4. Vektorwertige Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 418
4.1 Die Differentiation – 4.2 Die Kettenregel – 4.3 R¨aumliche Skalarenund
Vektorfelder – 4.4 Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace-Operator
– Aufgaben

Kapitel 8. Funktionen in mehreren Variablen: Integration : : : : : 430
§1. Parameterintegrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 430
1.1 Parameterintegrale – Aufgaben
§2. Kurvenintegrale: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 435
2.1 Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion – 2.2 Anwendungen
– 2.3 Die Integration eines Vektorfeldes l¨angs einer Kurve – 2.4 Anwendungen
und Beispiele – 2.5 Das Potential eines Gradientenfeldes –
2.6 Die praktische Bestimmung eines Potentials (n = 3) – Aufgaben
§3. Die Integration ¨uber ebene Bereiche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 454
3.1 Der Fl¨acheninhalt – 3.2 Definition und einfache Eigenschaften des
Doppelintegrals – 3.3 Die Berechnung des Doppelintegrals in kartesischen
Koordinaten – 3.4 Weitere Anwendungen und Beispiele – 3.5 Der
Satz von Green – Aufgaben
§4. Die Integration ¨uber Fl¨achen im Raum: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 467
4.1 Parameterdarstellungen – 4.2 Beispiele – 4.3 Der Fl¨acheninhalt –
4.4 Das Oberfl¨achenintegral einer skalaren Funktion – 4.5 Die Transformationsformel
f¨ur Gebietsintegrale – 4.6 Das Oberfl¨achenintegral eines
Vektorfeldes – 4.7 Der Satz von Stokes – Aufgaben
§5. Die Integration ¨uber dreidimensionale Bereiche : : : : : : : : : : : : : : : : : : 488
5.1 Definition und einfache Eigenschaften des Dreifachintegrals –
5.2 Einfache Anwendungsbeispiele – 5.3 Die Transformationsformel f¨ur
Volumenintegrale – 5.4 Der Divergenzsatz – 5.5 Einige Anwendungen
der Integrals¨atze – 5.6 Orthogonale krummlinige Koordinaten – Aufgaben
Literaturverzeichnis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 505
Anhang: Pascal-Programme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 507
Namen- und Sachverzeichnis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 517
Verzeichnis der Programme
1. Programm HORNER: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63
Auswertung eines Polynoms mit dem Horner-Schema
2. Programm HORNER vollstaendig:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63
Entwicklung eines Polynoms nach Potenzen von x − b
Verzeichnis der Programme XIII
3. Programm NEWTON Interpolation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68
Berechnung und Auswertung des Newton Interpolationspolynoms
4. Programm BISECTION :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109
Nullstellenbestimmung (f (x) = 0; x 2 R)
5. Programm NEWTON Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 134
Nullstellenbestimmung (f (x) = 0; x 2 R)
6. Programm KUBISCHE SPLINE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136
Interpolation mit kubischer Spline-Funktion
7. Programm ROMBERG Integration:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 209
Berechnung von
R
b
a f (x)dx mittels Romberg-Extrapolation
8. Programm Vollst. Ellipt. Integrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 211
Berechnung der vollst¨andigen elliptischen Integrale E(k) und K(k)
mit arithmetisch-geometrischem Mittel
9. Programm GAUSS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 296
L¨osung des linearen Gleichungssystems Ax = b mit verbesserter LRZerlegung,
Berechnung der Determinante von A
10. Programm LEVERRIER :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 333
Berechnung der Koeffizienten des Polynoms p() = det(E − A)
11. Programm JACOBI: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 354
Berechnung aller Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen
Matrix
12. Programm BAIRSTOW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 384
Berechnung aller komplexen Nullstellen eines reellen Polynoms
13. Procedure LINFIT : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 406
Bestimmung der Ausgleichsl¨osung eines ¨uberbestimmten linearen Gleichungssystems
14. Programm NLSQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 407
Bestimmung der Ausgleichsl¨osung eines ¨uberbestimmten nichtlinearen
Gleichungssystems