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Springers Mathematische Formeln
Springers Mathematische Formeln




Peter Vachenauer, Lennart Rade, Bertil Westergren

Reihe: 3. Auflage


Springer-Verlag
EAN: 9783540675051 (ISBN: 3-540-67505-1)
551 Seiten, Kunststoffeinband, 17 x 24cm, September, 2000

EUR 26,95
alle Angaben ohne Gewähr

Umschlagtext
Der schnelle und präzise Zugriff auf Daten und Fakten der Mathematik für Ingenieure, Informatiker, Naturwissenschaftler und Wirtschaftswissenschaftler. Vor allem gedacht für Studenten und Anwender.Das neue Standard-Nachschlagewerk, das jetzt in der dritten, durchgesehenen Auflage vorliegt, bietet dem Leser in moderner, übersichtlicher und handlicher Aufmachung alle wichtigen mathematischen Formeln, Tabellen, Definitionen und Sätze zum schnellen und sicheren Nachschlagen. Neben den klassischen Disziplinen wie Algebra, Geometrie und Analysis werden auch Gebiete von aktuellem Interesse wie Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Numerik behandelt. Der Anwender findet u.a. Kapitel der neuesten Mathematik über nichtlineare und dynamische Optimierung, Kodierung, schnelle Fouriertransformation, Graphen und Digraphen.Die ideale Ergänzung zur "Höheren Mathematik" von Meyberg-Vachenauer. TOC:Aus dem Inhalt: Grundlagen - diskrete Mathematik, Algebra, Geometrie und Trigonometrie, lineare Algebra, elementare Funktionen, Differentialrechnung einer Veränderlichen, Integralrechnung, Folgen und Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen, Differentiation und Integration in höheren Dimensionen, Vektoranalysis, orthogonale und andere Funktionensysteme, Transformationen, komplexe Analysis, Optimierung, numerische Analysis und Programmierung, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Verschiedenes.
Rezension
Das Kompendium für alle, die mit Mathematik im Studium und der Praxis zu tun haben.

In übersichtlichem und gut strukturiertem Design beinhaltet die Formelsammlung aus dem Hause Springer alle wichtigen mathematischen Formeln, Definitionen und Sätze. Ein Plus sind die ausführlichen Tabellen (zur Analysis, Spezielle Funktionen, Wahrscheinlichkeitstheorie,Statistik), Graphiken und konkrete Beispiele, die dieses Buch zum kompetenten Begleiter in jeder (Prüfungs)Situation machen. Alle Disziplinen der Mathematik werden je nach Relevanz mehr oder weniger stark in das Werk eingebunden, sodass die Stoffauswahl ideal auf die Lehre der höheren Mathematik an Technische Universitäten abgestimmt ist.

Besonders zu empfehlen in Verbindung mit den beiden Werken "Höhere Mathematik 1 + 2" von Meyberg und Vachenauer.

Michael Kraus
Verlagsinfo
Über dieses Lehrbuch
Schnelle Information für alle Anwender mathematischer Disziplinen. Das völlig neuartig konzipierte Arbeits- und Handbuch bietet übersichtlich und systematisch Formeln, Tabellen, Sätze und Definitionen der Mathematik mit einer Vielzahl von Beispielen - nicht im Sinne einer Einführung, sondern zum schnellen und sicheren Nachschlagen. Neben den klassischen Gebieten sind in diesem modernen Standardwerk auch die aktuellsten Bereiche der Mathematik erfaßt. Jetzt in dritter, durchgesehener Auflage. Die perfekte Ergänzung zur "Höheren Mathematik" von Meyberg/Vachenauer.
Geschrieben für:
Studenten, Dozenten und Anwender der Ingenieur-, Natur- und Wirtschaftswissenschaften sowie der Mathematik und Informatik
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen. Diskrete Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Bin¨are Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6 Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Algebra der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3 Geometrie und Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1 Ebene Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Sph¨arische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Vektoren in derGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Ebene analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Analytische Geometrie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Lineare Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5 Eigenwerte. Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.7 Lineare R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.8 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.9 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.10 KomplexeMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5 Die elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1 ¨Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3 Logarithmus, Exponentialfunktion, Potenzen und
hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Trigonometrische und Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6 Differentialrechnung (Eine reelle Variable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4 Monotonie. Extremwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3 Anwendungen von Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . 144
7.4 Tabelle von unbestimmten Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.5 Tabelle von bestimmten Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.2 Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l80
8.3 Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.4 Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.5 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.6 Spezielle Summen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9 Gew¨ohnliche Differentialgleichungen (DGLn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.1 Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.2 Differentialgleichungen l. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.3 Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.4 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.5 Autonome Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.6 Lineare Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

10 Mehrdimensionale Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.1 Der Raum Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.2 Fl¨achen. Tangentialebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.3 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.4 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.5 Extremstellen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.6 Vektorwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.7 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.8 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.9 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.10 Vertauschung von Grenzprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

11 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
11.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
11.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.3 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.4 Oberfl¨achenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

12 Orthogonalreihen. Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.1 Orthogonale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.2 Orthogonale Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.3 Bernoulli- und Euler-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.4 Bessel-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.5 Durch Integrale erkl¨arte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.6 Sprung- und Impulsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
12.7 Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
12.8 Lebesgue-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.9 Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) . . . . . . . . . . . . . . . . 304

13 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
13.1 Trigonometrische Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
13.2 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
13.3 Diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
13.4 z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
13.5 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
13.6 Dynamische Systeme (LTI-Systeme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
13.7 Hankel- und Hilbert-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

14 Komplexe Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
14.1 Funktionen einer komplexenVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
14.2 Komplexe Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
14.3 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
14.4 Nullstellen und Singularit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
14.5 Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

15 Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
15.1 Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
15.2 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
15.3 Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
15.4 DynamischeOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

16 Numerische Mathematik und Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
16.1 Approximationen und Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
16.2 Numerische L¨osung von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
16.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
16.4 Numerische Integration undDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
16.5 Numerische L¨osung von DGLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
16.6 Numerische Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
16.7 Programmieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

17 Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
17.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
17.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
17.3 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
17.4 Algorithmen zur Berechnung von Verteilungsfunktionen . . . . . . . 425
17.5 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
17.6 Wartesysteme (Bedienungstheorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
17.7 Zuverl¨assigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
17.8 Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

18 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
18.1 Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
18.2 Punktsch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
18.3 Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
18.4 Tabellen f¨ur Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
18.5 Signifikanztests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
18.6 Lineare Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
18.7 VerteilungsfreieMethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
18.8 Statistische Qualit¨atskontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
18.9 Faktorielle Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
18.10 Analyse von Lebens- und Ausfallzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
18.11 W¨orterbuch der Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

19 Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
GriechischesAlphabet,mathematische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
Ber¨uhmte Zahlen, physikalische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
Verwendete Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
Englische Abk¨urzungen der Informatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
Namen- und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533