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Umschlagtext
Dieses Buch enthält den Mathematik-Stoff, der für das Informatik-Studium an Fachhochschulen benötigt wird. Die Stoffauswahl und die Ausführlichkeit der Darstellung sind auf die Informatik ausgerichtet und der praxisorientierten Ausbildung an Fachhochschulen angepasst. Das heißt:
- Sie finden immer wieder konkrete Anwendungen aus der Informatik, so erkennen Sie die Nützlichkeit der Mathematik für Ihr Fachgebiet. - Sie lernen nicht nur die mathematischen Grundlagen technischer Anwendungen wie in den Mathematikbüchern für Ingenieure, es werden auch die mathematischen Denkweisen vermittelt, die eine Grundlage zum Verständnis der Informatik darstellen. - Es ist nicht so viel Theorie enthalten wie in den Büchern für das Universitätsstudium, Beweise werden dann geführt, wenn Sie daraus etwas lernen können, nicht um des Beweisens willen. Mathematik ist für viele Studenten zunächst ein notwendiges Übel. Das Buch zeigt durch die ausführliche Motivation der Ergebnisse, durch viele Beispiele, durch das ständige Aufzeigen von Querbezügen zwischen Mathematik und Informatik und auch durch gelegentliche Ausblicke in die Welt der "richtigen" Mathematik, dass Mathematik nicht nur nützlich ist, sondern interessant sein kann und manchmal auch Spaß macht. Der Inhalt Diskrete Mathematik und lineare Algebra: Grundlagen - Zahlentheorie und Kryptographie - Algebraische Strukturen - Vektorräume - Matrizen - Lineare Gleichungssysteme - Eigenwerte - Skalarprodukte - Graphentheorie - Analysis: Folgen und Reihen - Stetige Funktionen - Differenzialrechnung - Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Wahrscheinlichkeitssräume - Zufallsvariable - Wichtige Verteilungen - Statistische Verfahren Die Zielgruppen Studierende in Informatik-Studiengängen an Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Universitäten, Praktiker im Selbststudium Inhaltsverzeichnis
Teil I: Diskrete Mathematik und lineare Algebra 5
1 Mengen und Abbildungen 6 1.1 Mengenlehre 6 1.2 Relationen 13 1.3 Abbildungen 16 1.4 Übungsaufgaben 24 2 Logik 25 2.1 Aussagen und Aussagevariablen 25 2.2 Beweisprinzipien 33 2.3 Die Prädikatenlogik 36 2.4 Logik und Testen von Programmen 39 2.5 Übungsaufgaben 43 3 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion, Rekursion 44 3.1 Die Axiome der natürlichen Zahlen 44 3.2 Die vollständige Induktion 45 3.3 Rekursive Funktionen 50 3.4 Übungsaufgaben 55 4 Etwas Zahlentheorie und Kryptographie 56 4.1 Kombinatorik 56 4.2 Teilbarkeit und Euklid'scher Algorithmus 61 4.3 Restklassen 66 4.4 Hashing 69 4.5 Kryptographie 72 4.6 Übungsaufgaben 78 5 Algebraische Strukturen 79 5.1 Gruppen 80 5.2 Ringe 83 5.3 Körper 86 5.4 Polynomdivision 91 5.5 Homomorphismen 97 5.6 Übungsaufgaben 100 6 Vektorräume 101 6.l Die Vektorräume R2, R3 und Rn. 101 6.2 Vektorräume 104 6.3 Lineare Abbildungen 107 6.4 Lineare Unabhängigkeit 111 6.5 Basis und Dimension von Vektorräumen 113 6.6 Koordinaten und lineare Abbildungen 117 6.7 Übungsaufgaben 123 7 Matrizen 124 7.l Matrizen und lineare Abbildungen im R2 124 7.2 Matrizen und lineare Abbildungen von Kn->Km 130 7.3 Der Rang einer Matrix 136 7.4 Übungsaufgaben 140 8 Gauß'scher Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 142 8.1 Der Gauß'sche Algorithmus 142 8.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 146 8.3 Lineare Gleichungssysteme 148 8.4 Probleme numerischer Berechnungen 154 8.5 Übungsaufgaben 159 9 Eigenwerte, Eigenvektoren und Basistransformationen 160 9.1 Determinanten 160 9.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 167 9.3 Basistransformationen 174 9.4 Übungsaufgaben 182 10 Skalarprodukt und orthogonale Abbildungen 183 10.1 Skalarprodukt 183 10.2 Orthogonale Abbildungen 188 10.3 Homogene Koordinaten 193 10.4 Übungsaufgaben 201 11 Graphentheorie 202 11.1 Grundbegriffe der Graphentheorie 202 11.2 Bäume 206 11.3 Durchlaufen von Graphen 215 11.4 Übungsaufgaben 219 Teil II: Analysis 221 12 Die reellen Zahlen 222 12.1 Die Axiome der reellen Zahlen 222 12.2 Topologie 227 12.3 Übungsaufgaben 232 13 Folgen und Reihen 233 13.1 Zahlenfolgen 233 13.2 Reihen 243 13.3 Darstellung reeller Zahlen in Zahlensystemen 248 13.4 Übungsaufgaben 254 14 Stetige Funktionen 255 14.1 Stetigkeit 255 14.2 Elementare Funktionen 261 14.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 268 14.4 Übungsaufgaben 277 15 Differenzialrechnung 278 15.1 Differenzierbare Funktionen 278 15.2 Anwendungen der Differenzialrechnung 288 15.3 Potenzreihen 299 15.4 Taylorreihen 303 15.5 Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 309 15.6 Übungsaufgaben 314 16 Integralrechnung 316 16.l Das Integral stückweise stetiger Funktionen 316 16.2 Integralanwendungen 329 16.3 Fourierreihen 334 16.4 Übungsaufgaben 342 17 Differenzialgleichungen 343 17.1 Was sind Differenzialgleichungen? 343 17.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 347 17.3 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 351 17.4 Numerische Lösung von Differenzialgleichungen 357 17.5 Übungsaufgaben 361 Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 363 18 Wahrscheinlichkeitsräume 364 18.1 Fragestellungen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 364 18.2 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 369 18.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse 375 18.4 Urnenexperimente 382 18.5 Übungsaufgaben 385 19 Zufallsvariable 386 19.1 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen 386 19.2 Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen 394 19.3 Übungsaufgaben 401 20 Wichtige Verteilungen 402 20.1 Diskrete Verteilungen 402 20.2 Die Poisson-Verteilung und der Poisson-Prozess 407 20.3 Stetige Verteilungen, die Normalverteilung 413 20.4 Übungsaufgaben 424 21 Statistische Verfahren 425 21.1 Parameterschätzung 425 21.2 Konfidenzintervalle 430 21.3 Hypothesentest 436 21.4 Übungsaufgaben 447 22 Anhang 448 Die Standardnormalverteilung 448 Literaturverzeichnis 449 Index 451 |