Mathematik Grundlagen für Ökonomen - Mit Aufgaben und Lösungen

Rezension

Heutige Wirtschaftswissenschaft ist durch den Gebrauch der Mathematik geprägt. Alle ihre Hypothesen werden mit der Sprache der Mathematik formuliert und diskutiert. Wer sich also heute mit Wirtschaftswissenschaften befasst, benötigt eine solides mathematisches Fundament. Der vorliegende Band, der aus Mathematikvorlesungen im Wirtschaftsgrundstudium erwachsen ist, will in die Teilbereiche der Mathematik einführen, die der Wirtschaftswissenschaftler braucht. Jürgen Senger geht dabei recht genau und kleinschrittig vor, so dass sich der Stoff seines Band auch - wenn der Leser den Mathematikstoff der Mittelstufe beherrscht - im Selbststudium erarbeiten lässt. Man sollte dabei aber weder die Beweise auslassen - erst wenn man sie versteht, versteht man auch wirklich die Zusammenhänge - noch zu wenig Zeit für die Übungen einplanen. Der Stoff geht doch weit über den Mathematikstoff der Oberstufe hinaus und ist deshalb - trotz der guten Erklärung - recht anspruchsvoll. Beim Selbststudium ist auch die Internetseite zum Buch hilfreich.
Das Buch ist auch gut geeignet, den Mathematikstoff, den man früher, im Studium , einmal beherrschte zu wiederholen und auch um Schülern zu zeigen, was sie in einem Wirtschaftsstudium erwartet.

Verlagsinfo

Eine anwendungsbezogene Einführung in die ökonomisch relevanten Teilbereiche der höheren Mathematik. Dazu gehören die Funktionenlehre, die Differential- und Integralrechnung, Instrumente der dynamischen Wirtschaftsanalyse wie Differenzen- und Differenzialgleichungen sowie die Grundlagen der Linearen Algebra.
Regeln und Verfahren werden unmittelbar an numerischen Beispielen demonstriert und geübt. Die ausführliche Entwicklung der Lösungen in den Beispielen ermöglicht es, die Lösungswege Schritt für Schritt nachzuvollziehen. Sie ermutigen dazu, die Zahlenbeispiele zur Übung selbständig
durchzurechnen und den Kenntnisstand ständig selbst zu testen.
Die Übungsaufgaben an den Kapitelenden dienen schließlich dem Erwerb der Rechenroutine, die sich nur durch Rechenpraxis und Wiederholung einstellt.
Weiteres Lehrmaterial finden Sie auf der Homepage des Autors unter
http://www.ivwl.uni-kassel.de/senger/lehre.html .
Das Buch wendet sich an Studierende der Wirtschaftswissenschaften und angrenzender Studien gänge. Es eignet sich als Begleitlektüre zu Vorlesungen sowie zum Selbststudium.

Inhaltsverzeichnis

Inhalt
1 GRUNDLAGEN 1
1.1 Zahlen 1
1.1.1 Natürliche Zahlen 1
1.1.2 Ganze Zahlen 2
1.1.3 Rationale Zahlen 3
1.1.4 Reelle Zahlen 4
1.2 Rechnen mit reellen Zahlen 8
1.2.1 Grundgesetze der Addition 8
1.2.2 Grundgesetze der Multiplikation 9
1.2.3 Binomische Formeln 10
1.2.4 Vorzeichenregeln 12
1.2.5 Regeln für Brüche 13
1.2.6 Potenzen 14
1.2.7 Wurzeln 16
1.2.8 Summenzeichen 18
1.3 Mengen 21
1.3.1 Definition 21
1.3.2 Mengensymbolik 22
1.3.3 Mengenoperationen 25
1.3.4 Rechnen mit Mengen 29
1.4 Funktionen 33
1.4.1 Definition von Relation und Funktion 33
1.4.2 Inverse Funktionen 42
1.4.3 Zusammengesetzte Funktionen 48
1.5 Ungleichungen, Absolutbetrag 53
1.5.1 Ungleichungen 53
1.5.2 Absolutbetrag 61
1.5.3 Intervalle 65
1.6 Folgen und Reihen 68
1.6.1 Definitionen der Folge und Reihe 68
1.6.2 Arithmetische Folgen und Reihen 73
1.6.3 Geometrische Folgen und Reihen 82
1.6.4 Konvergenz 98
X Inhalt
2 FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT 105
2.1 Arten von Funktionen 105
2.1.1 Ganze rationale Funktionen 106
2.1.2 Gebrochen rationale Funktionen 111
2.1.3 Wurzelfunktionen 115
2.1.4 Exponentialfunktionen 117
2.1.5 Logarithmische Funktionen 118
2.1.6 Anwendungen 121
2.2 Grenzwerte von Funktionen 128
2.2.1 Definition des Grenzwerts 128
2.2.2 Sonderfälle von Grenzwerten 135
2.2.3 Verknüpfung und Berechnung von Grenzwerten 139
2.3 Stetigkeit 142
2.3.1 Definition der Stetigkeit 142
2.3.2 Arten der Unstetigkeit 143
2.3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 152
3 DIFFERENTIATION 155
3.1 Steigung und Ableitung einer Funktion 155
3.1.1 Lineare Funktionen 155
3.1.2 Nichtlineare Funktionen 157
3.1.3 Definition der Ableitung 158
3.2 Ableitungen einfacher Funktionen 161
3.2.1 Konstante Funktion 161
3.2.2 Identische Funktion 162
3.2.3 Potenzfunktion 162
3.3 Ableitungen für Summe, Produkt und Quotient 164
3.3.1 Produkt einer Konstanten und einer Funktion (Faktorregel) 164
3.3.2 Summe und Differenz (Summenregel) 165
3.3.3 Produkt zweier Funktionen (Produktregel) 165
3.3.4 Quotient einer Funktion (einfache Quotientenregel) 167
3.3.5 Quotient zweier Funktionen (Quotientenregel) 168
3.3.6 Zusammengesetzte Funktionen (Kettenregel) 169
3.4 Ableitung der Logarithmus- und Exponentialfunktion 171
3.4.1 Die Eulersche Zahl e 171
3.4.2 Ableitung des natürlichen Logarithmus 174
3.4.3 Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktion 175
3.4.4 Ableitung des allgemeinen Logarithmus 175
3.4.5 Ableitung der e-Funktion 177
3.4.6 Ableitung der allgemeinen e-Funktion 178
Inhalt XI
3.4.7 Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion 178
3.4.8 Logarithmische Differentiation und Transformation 179
3.5 Instrumente der Differentialrechnung 183
3.5.1 Differential 183
3.5.2 Newton-Verfahren 186
3.5.3 L´Hospitalsche Regel 190
3.5.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 191
3.6 Eigenschaften von Funktionen 194
3.6.1 Steigende und fallende Funktionen, Monotonie 194
3.6.2 Relative Maxima und Minima 197
3.6.3 Konvexe und konkave Funktionen 211
3.7 Ökonomische Anwendungen 216
3.7.1 Durchschnittskostenminimum 216
3.7.2 Gewinnmaximum des Polypolisten 221
3.7.3 Erlösfunktion, Grenzerlös, Durchschnittserlös 225
3.7.4 Elastizitäten 226
3.7.5 Gewinnmaximum des Monopolisten 232
3.7.6 Lagerhaltungsmodelle, optimale Bestellmenge 235
4 DIFFERENTIATION: FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 243
4.1 Funktionen zweier Variablen 243
4.2 Partielle Differentiation 252
4.2.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung 252
4.2.2 Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitung 253
4.2.3 Partielle Ableitungen 2. Ordnung 254
4.3 Anwendungen der partiellen Differentiation 258
4.3.1 Totales Differential 258
4.3.2 Totale Ableitung 262
4.3.3 Implizite Differentiation 264
4.3.4 Partielle Elastizitäten 266
4.4 Maxima und Minima 269
4.4.1 Definition 269
4.4.2 Hinreichende Bedingungen 272
4.4.3 Anwendungen 276
4.5 Maxima und Minima unter Nebenbedingungen 280
4.5.1 Problemstellung 280
4.5.2 Lagrange Multiplikatoren Methode 281
4.5.3 Geometrische Interpretation der hinreichenden Bedingungen 287
4.5.4 Bedeutung des Lagrange-Multiplikators 288
XII Inhalt
4.5.5 Anwendungen 294
5 INTEGRATION 305
5.1 Das bestimmte Integral 307
5.1.1 Problemstellung 307
5.1.2 Beispiele 308
5.1.3 Definition des bestimmten Integrals 313
5.1.4 Eigenschaften bestimmter Integrale 316
5.2 Das unbestimmte Integral 319
5.2.1 Integralfunktion 319
5.2.2 Stammfunktion 321
5.2.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 325
5.2.4 Spezielle Stammfunktionen (Grundintegrale) 327
5.3 Integrationstechniken 330
5.3.1 Integration durch Substitution 330
5.3.2 Partielle Integration 335
5.3.3 Integration durch Partialbruchzerlegung 340
5.4 Uneigentliche Integrale 348
5.4.1 Problemstellung 348
5.4.2 Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen 348
5.4.3 Integrale mit unbeschränkten Integranden 351
5.4.4 Vergleichstest für die Konvergenz 353
5.5 Flächenberechnungen (Quadraturen) 356
5.5.2 Negative Flächen 359
5.5.3 Fläche zwischen zwei Kurven 365
5.5.4 Doppelintegrale 367
5.6 Ökonomische Anwendungen 374
5.6.1 Konsumentenrente 374
5.6.2 Produzentenrente 377
5.6.3 Ressourcialökonomie: Verbrauchsfunktion 382
5.6.4 Kostenfunktion, Grenzkostenfunktion 386
5.6.5 Grenzsteuersatz und Steuerbetrag 388
5.6.6 Ertragswert einer Investition 391
6 DIFFERENZENGLEICHUNGEN 395
6.1 Grundlagen 395
6.1.1 Differenzen- und Differentialgleichungen 395
6.1.2 Klassifikation von Differenzengleichungen 398
5.5.1 Fläche unter einer Kurve 356
Inhalt XIII
6.2 Homogene Differenzengleichungen 1. Ordnung 400
6.2.1 Lösung 400
6.2.2 Verhalten der Lösung im Zeitablauf (Dynamik) 401
6.2.3 Beispiele 406
6.2.4 Anwendungen 410
6.3 Inhomogene Differenzengleichungen 1. Ordnung 418
6.3.1 Lösung 418
6.3.2 Dynamische Eigenschaften der Lösungen 423
6.3.3 Beispiele 429
6.3.4 Anwendungen 433
6.4 Homogene Differenzengleichungen 2. Ordnung 444
6.4.1 Lösungsansatz 444
6.4.2 Fall Δ > 0 : Reelle und ungleiche Wurzeln 445
6.4.3 Kaninchenproblem und Fibonacci-Folge 451
6.4.4 Fall Δ = 0 : Reelle und gleiche Wurzeln 459
6.4.5 Exkurs: Komplexe Zahlen 462
6.4.6 Fall Δ < 0 : Komplexe Wurzeln 469
6.4.7 Stabilitätsbedingungen (Koeffizientenkriterien) 480
6.5 Inhomogene Differenzengleichungen 2. Ordnung 483
6.5.1 Partikuläre Lösung 483
6.5.2 Allgemeine Lösung 485
6.5.3 Beispiele 489
6.5.4 Anwendungen 494
7 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 511
7.1 Definition und Klassifikation 511
7.2 Homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung 513
7.2.1 Lösung 513
7.2.2 Dynamisches Verhalten der Lösung 515
7.2.3 Homogene Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten 517
7.3 Inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung 519
7.3.1 Partikuläre Lösung 519
7.3.2 Allgemeine Lösung 521
7.3.3 Inhomogene Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten 524
7.3.4 Anwendungen 525
7.4 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung 531
7.4.1 Lösung der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung 531
7.4.2 Partikuläre Lösung der inhomogenen DG 2. Ordnung 540
7.4.3 Allgemeine Lösung der inhomogenen DG 2. Ordnung 541
XIV Inhalt
8 LINEARE ALGEBRA (MATRIXALGEBRA) 547
8.1 Definitionen und Unterscheidungen 548
8.1.1 Beispiele 548
8.1.2 Matrix und Vektor 550
8.1.3 Spezielle Matrizen 553
8.2 Matrixoperationen 556
8.2.1 Addition und Subtraktion von Matrizen 556
8.2.2 Multiplikation mit einem Skalar 558
8.2.3 Transponieren 559
8.2.4 Matrizenmultiplikation 561
8.3 Determinanten 573
8.3.1 Definition der Determinante 573
8.3.2 Eigenschaften von Determinanten (Rechenregeln) 579
8.4 Inverse Matrizen 587
8.4.1 Definition der Inversen 587
8.4.2 Berechnung der Inversen aus Determinante und Adjunkte 589
8.4.3 Eigenschaften der Inversen 598
8.4.4 Berechnung der Inversen mit Elementaroperationen 600
8.5 Vektorräume, lineare Unabhängigkeit und Rang 608
8.5.1 Vektorräume und lineare Unabhängigkeit 608
8.5.2 Rang einer Matrix 615
8.6 Lineare Gleichungssysteme 622
8.6.1 Begriff und Problemstellung 622
8.6.2 Existenz einer Lösung 624
8.6.3 Inhomogene lineare Gleichungssysteme: Fall m = n 627
8.6.4 Inhomogene lineare Gleichungssysteme: Fall m > n 637
8.6.5 Inhomogene lineare Gleichungssysteme: Fall m < n 641
8.6.6 Homogene lineare Gleichungssysteme 648
8.7 Extremalbedingungen für Funktionen 655
8.7.1 Gradient, Hesse-Matrix 655
8.7.2 Hinreichende Bedingungen für unbeschränkte Extrema 658
8.7.3 Hinreichende Bedingungen für beschränkte Extrema 662
LÖSUNGEN 669
LITERATUR 683
INDEX 687

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