Analysis

Grundlagen

1 Reelle Zahlen am Zahlenstrahl 10
1.1 Der Zahlenstrahl
1.2 Intervalle
1.3 Mengen reeller Zahlen
2 Das kartesische Koordinatensystem 12
3 Geraden im Koordinatensystem 13
3.1 Geradengleichungen
3.2 Punktprobe
3.3 Zeichnen einer Geraden
3.4 Aufstellen einer Geradengleichung
3.5 Parallelität und Orthogonalität
3.6 Halbebenen, Abstand Punkt-Gerade

Polynome

1 Polynombegriff und Beispiele20
2 Rechnen mit Polynomen21
2.1 Addieren und Subtrahieren
2.2 Multiplizieren
2.3 Dividieren
3 Nullstellen von Polynomen24
3.1 Begriff und Beispiele
3.2 Nullstellen beim Grad < 2
3.3 Sätze über Nullstellen

Reelle Funktionen

1 Grundlegendes über Funktionen30
1.1 Funktionsbegriff und Schreibweisen
1.2 Wertetabelle und Graph
2 Elementare Funktionenklassen33
2.1 Begriff der ganzrationalen Funktion
2.2 Ganzrationale Funktionen vom Grad < 2
2.3 Potenzfunktionen
2.4 Wurzelfunktionen
2.5 Abschnittsweise definierte Funktionen, Betragsfunktion, Signumfunktion
2.6 Operationen auf Funktionen

Stetigkeit und Grenzwert

1 Stetigkeit48
1.1 Beschreibung des Stetigkeitsbegriffs
1.2 Sätze über stetige Funktionen
2 Grenzwert53
2.1 Grenzwerte für x —> a mit a g R
2.2 Grenzwerte für x -> °o bzw. x —> -°°
2.3 Ganzrationale Funktionen für x -> + °o
2.4 Grenzwerte bei rationalen Funktionen
2.5 Regeln für Grenzwerte

Transzendente Funktionen

1 Trigonometrische Funktionen64
1.1 Definition und Eigenschaften
1.2 Trigonometrische Grenzwerte
2 Arcusfunktionen 69
2.1 Definition der Arcusfunktionen
2.2 Auflösen nach dem Argument
3 Exponentialfunktionen71
4 Logarithmusfunktionen 73

Differentialrechnung

1 Die Ableitung76
1.1 Begriff der Ableitung
1.2 Ableitungsregeln
1.3 Die Kettenregel im Leibniz'schen Kalkül
2 Monotonie83
3 Krümmung87
4 Die Ableitung der Umkehrfunktion 89
5 Das Newton-Verfahren92

Integralrechnung

1 Das bestimmte IntegraL93
1.1 Begriff des bestimmten Integrals
1.2 Regeln für das bestimmte Integral
2 Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung96
2.1 Stammfunktion und Integralfunktion
2.2 Das unbestimmte Integral
3 Integrationsmethoden100
3.1 Partielle Integration
3.2 Substitutionsregel
4 Uneigentliche Integrale104
5 Anwendungen der Integralrechnung105

Kurvendiskussion

1 Symmetrie des Graphen 107
2 Elemente der Kurvendiskussion 109
3 Kurvendiskussion am Beispiel einer gebrochen-rationalen Funktion110

Analytische Geometrie

Lineare Gleichungssysteme in der analytischen Geometrie

1 Gleichungssysteme mit drei Variablen und zwei Gleichungen116
2 Gleichungssysteme mit zwei Variablen und drei Gleichungen120
Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensystem
1 Grundlegende Begriffe124
2 Rechnen mit Vektoren127
2.1 Der Betrag eines Vektors
2.2 Das Vielfache eines Vektors
2.3 Die Summe und Differenz von Vektoren
2.4 Der Vektor zwischen zwei Punkten
2.5 Die Mitte zwischen zwei Punkten
2.6 Das Skalarprodukt und der Winkel zwischen zwei Vektoren

Geraden- und Ebenengleichungen

1 Die Parameterform133
1.1 Die Gerade
1.2 Die Ebene
2 Die Koordinatengleichung137

Schnittprobleme

1 Schnitt zwischen einer Geraden und einer Ebene140
2 Schnitt zweier Ebenen144
3 Schnitt zweier Geraden147

Abstände und Längen

1 Der Abstand zweier Punkte152
2 Der Abstand eines

Punktes von einer Geraden153

3 Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ... 155
4 Der Abstand zweier windschiefer Geraden 156

Spiegelungen an Ebenen

1 Das Spiegelbild eines Punktes158
2 Das SpiegelbiLd einer Geraden160
3 Das Spiegelbild einer Ebene 162

Winkelberechnungen

1 Der Winkel zwischen zwei Geraden165
2 Der Winkel zwischen zwei Ebenen166
3 Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene 167

Rechnereien rund um die Kugel

1 Die Kugelgleichung169
2 Der Schnitt einer Geraden mit einer Kugel170
3 Der Schnitt zwischen einer Ebene und einer Kugel172
4 Die Tangentialebene einer Kugel176

Lineare Algebra

Lineare Gleichungssysteme und ihre Lösung

1 Lineare Gleichungssysteme178
2 Das Gaussverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme179

Grundbegriffe der Vektorrechnung

1 Vektoren und Vektorräume 185
2 Die Vektorschreibweise187
3 Addition und Multiplikation von Vektoren 188
4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit189

Lineare Abbildungen

1 Eigenschaften linearer Abbildungen191
2 Lineare Abbildungen mit Matrizen: die Matrix-Vektor-Multiplikation192
3 Verknüpfung linearer Abbildungen: die Matrix-Matrix-Multiplikation195

Die Matrixrechnung zur Lösung eines LGS

1 Lineare Gleichungssysteme als Matrix-Vektor-Gleichung197
2 Die inverse Matrix und ihre Bedeutung198
3 Berechnung der inversen Matrix199
4 Die Determinante und die Umkehrbarkeit einer Matrix201