1. Vektorrechnung - Punkte und Geraden im Raum 5

1.1 Kartesisches Koordinatensystem im Raum 5

1.2 Ursprungsgeraden - Vektoren und ihre Vervielfältigung 8

1.3 Verschiebungen - Addieren und Subtrahieren von Vektoren 10

1.4 Lösen von Berechnungs- und Beweisaufgaben mithilfe von Vektoren 13
1.4.1 Berechnen von Ortsvektoren. Beweisaufgaben. Rechengesetze 13
1.4.2 Berechnen von Teilverhältnissen -Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren 18
1.4.3 Test auf lineare Abhängigkeit von Vektoren - Vektorbasis im Raum 23

1.5 Parameterdarstellungen von Geraden 25

1.6 Lageaufgaben 27
1.6.1 Punkt und Gerade (Punktprobe) 27
1.6.2 Gegenseitige Lage zweier Geraden 29

1.7 Vermischte Übungen 32


2. Skalarprodukt von Vektoren - Berechnen geometrischer Größen 39

2.1 Länge eines Vektors - Abstand zweier Punkte 39

2.2 Orthogonalität - Skalarprodukt von Vektoren - Winkelberechnung 40
2.2.1 Orthogonalität - Skalarprodukt von Vektoren 40
2.2.2 Geometrische Bedeutung des Skalarprodukts - Winkelberechnung 43

2.3 Berechnen von Abständen 47
2.3.1 Abstand eines Punktes von einer
Geraden - Flächeninhalte 47
2.3.2 Abstand zueinander windschiefer Geraden 50

2.4 Vermischte Übungen 57


3. Analytische Geometrie mit Ebenen 61

3.1 Beschreibung von Ebenen durch Parameterdarstellungen 61
3.1.1 Gewinnen einer Parameterdarstellung 61
3.1.2 Zeichnen von Ebenen und Geraden 67

3.2 Beschreiben von Ebenen durch Koordinatengleichungen 72

3.3 Von einer Koordinatengleichung einer Ebene zu einer Parameterdarstellung und umgekehrt 75

3.4 Lageaufgaben 79
3.4.1 Gerade und Ebene 79
3.4.2 Zwei Ebenen 83

3.5 Berechnen von geometrischen Größen 87
3.5.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene - Rauminhalte 87
3.5.2 Winkel zwischen Ebenen 95
3.5.3 Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene 97

3.6 Vermischte Übungen 100
Blickpunkt: Vektorprodukt 116


4. Lineare Gleichungssysteme 119

4.1 Entwicklung eines systematischen Lösungsverfahren 119
Blickpunkt: Computertomographie 119

4.2 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen 120

4.3 Inhomogene und zugehörige homogene lineare Gleichungssysteme 123

4.4 Anwendungen linearer Gleichungssysteme 125


5. Matrizen 130

5.1 Matrizen - Addieren und Vervielfachen 130

5.2 Multiplikation von Matrizen 133
5.2.1 Das Produkt zweier Matrizen 133
5.2.2 Rechengesetze für die Multiplikation von Matrizen 137

5.3 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 139

5.4 Beschreibung von Abbildungen durch Matrizen 143
5.4.1 Abbildungen in der Ebene 143
Blickpunkt: Affine Abbildungen 148
5.4.2 Abbildungen im Raum 149
5.4.3 Vermischte Übungen 167


6. Kreis und Kugel 173

6.1 Gleichungen von Kugeloberfläche und Kreislinie 173

6.2 Kugel und Gerade - Tangente an eine Kugel 176

6.3 Kugel und Ebene - Tangentialebene einer Kugel 181

6.4 Vermischte Übungen 191
Blickpunkt: GPS - Global Positioning System 198


7. Kegelschnitte 201

7.1 Schnitt von Doppelkegel und Ebene 201
7.1.1 Geometrische Einteilung - vektorielle Beschreibung des Doppelkegels 201
7.1.2 Scheitelgleichung der Kegelschnitte 202
7.1.3 Gleichung für Ellipse und Parabel 204
7.1.4 Gleichung der Hyperbel -Klassifikation der Kegelschnitte 206

7.2 Kegelschnitte als Abstandskurven 211

7.3 Brennpunkteigenschaften von Kegelschnitten 221

7.4 Vermischte Übungen 222
Blickpunkt: Zeicheninstrumente für Kegelschnitte 225


8. Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung 226


Orientierungswissen: Stochastik


1 Wiederholungen zur Stochastik 271

1.1 Zufallsversuche - Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen 271

1.2 Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen - Elementare Summenregel 272

1.3 Rechenregeln für mehrstufige Zufallsversuche 272

1.4 Urnenmodelle - Simulation von Zufallsversuchen 276

1.5 Zählstrategien 277


2 Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung 279

2.1 Bernoulli-Ketten 279

2.2 Anwendung der Binomialverteilung 281


3 Testen von Hypothesen 284

3.1 Das Entscheidungsverfahren - Möglichkeiten und Fehler 284

3.2 Entscheidungsregel bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit 286

3.3 Zweiseitiger Hypothesentest 288