1 Einführung der reellen Zahlen 1

1.1 Ziffern, Zahlen, Mengen (V) 1
1.2 Natürliche Zahlen N 4
1.3 Die 0 und die Stellenschreibweise der Ziffern 10
1.4 Ganze Zahlen ZZ 12
1.5 Rationale Zahlen Q (V) 15
1.6 Begründung der reellen Zahlen 18
1.7 Eigenschaften der reellen Zahlen (V) 20

2 Ergänzungen zu Reelle Zahlen 28

2.1 Einige Anwendungen von Ungleichungen (V) 28
2.2 Stichproben und Kombinatorik (V) 31
2.3 Zahlen und Mengentheorie 33
2.4 Zahlen und Information 38

3 Einführung der komplexen Zahlen 41

3.1 Begründung der komplexen Zahlen (V) 41
3.2 Die Gaußsche Zahlenebene (V) 43
3.3 Eigenschaften komplexer Zahlen (V) 44

4 Euklidische Vektorrechnung 51

4.1 Euklidische Geometrie 51
4.2 Reelle Tripel (V) 58
4.3 Transformationen und Matrizen (V) 66
4.4 Determinanten (V) 69
4.5 Die Euklidische Gruppe 70
4.6 Geometrische Tripel 73
4.7 Geraden und Ebenen 80

5 Grenzwerte und Reihen 83

5.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen (V) 83
5.2 Reihen (V) 85

6 Reelle Funktionen einer Veränderlichen 92

6.1 Allgemeines (V) 92
6.2 Umkehrfunktion und Stetigkeit (V) 95
6.3 Zusammengesetzte Funktionen (V) 97
6.4 Elementare Funktionen (V) 98
6.5 Übungsaufgaben (V) 103

7 Differentialrechnung 105

7.1 Der Begriff der Ableitung (V) 105
7.2 Rechenregeln der Differentiation (V) 109
7.3 Differentiation von Potenzreihen (V) 115
7.4 Der Satz von Taylor 116
7.5 Übungsaufgaben (V) 120

8 Integralrechnung 122

8.1 Der Integralbegriff (V) 122
8.2 Unbestimmtes Integral oder Stammfunktion (V) 126
8.3 Integrationsmethoden (V) 128
8.4 Numerische Integration und Interpolation 135

9 Matrizen und Determinanten 139

9.1 Vektorräume 139
9.2 Matrizen 141
9.3 Determinanten 143

10 Funktionen mehrerer Veränderlicher 150

10.1 Einführende Beispiele, Systemfunktionen 150
10.2 Definition einer Funktion von n Variablen (V) 152
10.3 Partielle Ableitungen (V) 155
10.4 Ableitungen höherer Ordnung 161
10.5 Übungsaufgaben 163

11 Extrema und implizite Funktionen 164

11.1 Wegintegration und Gradient (V) 164
11.2 Extrema 172
11.3 Implizite Funktionen und Jacobische Determinanten 173
11.4 Wirkungsprinzip und Lagrangesche Gleichungen 179

12 Konvexe Analysis 181

12.1 Konvexe Funktionen 181
12.2 Legendretransformation 183

13 Mehrdimensionale Integration 189

13.1 Zweifache Integrale (V) 189
13.2 Dreifache Integrale (V) 196
13.3 Volumenintegrale über allgemeine Koordinaten 198
13.4 Übungsaufgaben 200

14 Dreidimensionale Vektoranalysis 201

14.1 Divergenz eines Vektorfeldes (V) 201
14.2 Gaußscher Satz (V) 205
14.3 Parameter-Darstellung der Flächenintegrale 208
14.4 Rotation eines Vektorfeldes (V) 209
14.5 Ableitung und Randwerte von Vektorfeldern 217

15 Holomorphe Funktionen 221

15.1 Komplexe Differentiation 221
15.2 Komplexe Kurvenintegrale 222
15.3 Komplexe Potenzreihen 226
15.4 Singularitäten und Laurent—Reihen 231
15.5 Residuen—Kalkül 235
15.6 Riemannsche Flächen 237

16 Fourier-Analysis und Distributionen 243

16.1 Fouriertransformation 243
16.2 Distributionen 252
16.3 Dirac—Kämme und Fourierreihen 259
16.4 Weitere Anwendungen und Ausblicke 263

17 Wahrscheinlichkeit und Entropie 265

17.1 Wahrscheinlichkeitsmaße und Mittelwerte 265
17.2 Wahrscheinlichkeitsdichten 271
17.3 Erzeugende Funktionen und Momente 278
17.4 Entropie 281
17.5 Markoff—Ketten 286

Lösungen zu den Übungsaufgaben 290

Verweis auf die Internetadresse 290

Stichwortverzeichnis 290
Literaturverzeichnis 298